Vilka av de nedanstående ekvationerna är potensekvationer och vilka är exponentialekvationer?

Lös ekvationerna, om det går exakt, annars med 4 decimalers noggrannhet.

Använd dina kunskaper från potensräkning för att lösa exponentialekvationerna utan räknare. Förklara din lösningsmetod.

a) \( x^8 = 11\, \)

b) \( 2^x = 32\, \)

c) \( (8\,x^3)^{1/3} = 1 \)

d) \( 4^x + 4^{x+1} = 80\, \)

Skriv först ned hur man läser följande uttryck. Ange sedan uttryckens värde utan att använda räknare:

a) \( \log_{10} 100\,000 \)

b) \( \lg 10\,000 \)

c) \( \log_2 8\, \)

d) \( \log_3 9\, \)

e) \( \log_5 125\, \)

f) \( \log_2 {1 \over 4} \)

Beräkna uttrycken nedan utan att använda räknare:

a) \( \log_4 2 + \log_9 3\, \)

b) \( \log_8 2 - \log_{27} 3\, \)

c) \( \log_6 \sqrt{6} \cdot \log_5 \sqrt{5}\, \)

Svara först utan att använda räknare. Bekräfta sedan ditt resultat men räknaren i de fall det går (10-logaritmerna). \( \,\log \)-knappen på räknaren står för 10-logaritmen.

Vad blir:

a) \( 10^{\lg 32}\, \)

b) \( 3^{\log_3 5}\, \)

c) \( \lg(10^6)\, \)

d) \( \log_3(3^8)\, \)

Lös följande ekvationer genom att skriva om baserna till 10-potenser och använda potenslagarna. Beräkna 10-logaritmerna med räknaren. Svara med 6 decimaler.

a) \( 2^x \, = \, 35 \)

b) \( 4^x \, = \, 17 \)

c) \( 8^x \, = \, 448 \)

Ett startkapital på \( 12\,000 \) kr sätts in på ett bankkonto med \( 6,5\,\%\) årsränta. Inga uttag görs.

a) Ställ upp en modell (funktion) för pengarnas växande under flera år som tar hänsyn till ränta på ränta. Vilken typ av funktion blir det?

b) Använd modellen i a) för att ställa upp en ekvation för att få reda på hur länge det tar tills startkapitalet fördubblats. Vilken typ av ekvation blir det?

Lös ekvationen och ange svaret i antal år och avrundat antal månader.

I början av ett år sattes in \( 40\,000 \) kr på ett bankkonto med en årsränta på \( 8\,\% \).

Efter två år sattes in ytterligare ett belopp som var \( 3\over 5 \) av det först insatta.

Hur lång tid (räknat från den första insättningen) kommer det att ta tills saldot blir \( 100\,000 \) kr?

Inga uttag görs från kontot under hela tidsperioden. Ange svaret i antal år och hela månader.

En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen avtar exponentiellt med tiden från 94,3 ºC i början till 76 ºC efter 4 timmar.

a) Ställ upp en matematisk modell för kaffets avsvalnande. Ta hjälp från 1.5 övning 8 (Potenslagarna).

b) Använd modellen från a) för att besvara frågan:

Hur lång tid exakt tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Ange svaret i antal timmar och avrundat antal minuter.