1.2 Repetition Faktorisering & Vieta från Matte 2
| Repetition: Faktorisering & Vieta | Genomgång: Faktorisering polynom | Övningar: Faktorisering av polynom | Fördjupning: Faktorisering av polyn. |
Innehåll
Faktorisering
Du kommer väl ihåg att
- \[ a \cdot b \]
är en produkt vars ingredienser \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. T.ex. är produkten
- \[ 3 \cdot 4 \]
en faktorisering av talet 12 därför att den visar 12 i faktorform:
- \[ 12 \, = \, 3 \cdot 4 \]
Faktorisering betyder alltså omvandling till en produkt. Analogt till faktorisering av heltal kan även ett polynom som ursprungligen är en summa, faktoriseras dvs skrivas om till en produkt.
T.ex. kan polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) som i denna form är en summa av termer, faktoriseras och bli därmed ett polynom i faktorform, så här:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Att detta är sant ser man genom att räkna baklänges och utveckla högerledet:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Alla polynom kan faktoriseras dvs delas upp i sina linjära beståndsdelar av typ \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) som i exemplet ovan. "Alla" om man även tillåter komplexa tal. Men hur gör man det?
För en liten klass av 2:a gradspolynom har vi i Matte 2 redan gjort det genom att använda kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges.
Exempel
Faktorisera polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \)
Lösning:
2:a kvadreringsregeln \( (a-b)^2 = a^2 - 2\,a\,b + b^2\) baklänges ger följande faktorisering:
- \[ x^2 - 6\,x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2 = (x-3) \cdot (x-3) \]
Självklart hade denna metod inte fungerat om det hade stått t.ex. \( - 7\,x \) i polynomets andra term, för även om \( - 7\,x = - 2 \cdot x \cdot 3,5 \) är \( (3,5)^2 \neq 9 \). Exemplet var tillrättalagt så att kvadreringsregeln kunde användas. Polynomet \( x^2 - 7\,x + 9 \) kan inte längre faktoriseras med denna metod. Så konjugat- och kvadreringsreglerna (baklänges) kan endast faktorisera en liten del av väldigt speciella 2:a gradspolynom.
Den allmänna metoden att faktorisera polynom lär man sig i Matte 3, se Faktorisering av 2:a_gradspolynom.
Vietas formler - samband mellan koefficienter och nollställen
Här ska vi titta på ett enkelt och intressant samband mellan 2:a gradspolynomets koefficienter \( p\, \) och \( q\, \) och dess nollställen \( x_1\, \) och \( x_2\, \), vilket ger oss möjligheten att lösa 2:a gradsekvationer utan p-q-formeln. Vid sidan om kan du med denna metod roa dina vänner genom att låta dem säga två tal. Du kan sedan omedelbart skriva upp en 2:a gradsekvation vars lösningar just dessa tal är.
Exempel 1
Låt oss anta att 3 och 4 är lösningar till en 2:a gradsekvation. Gör så här:
- \[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]
Och skriv upp 2:a gradsekvationen:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]
För att bilda ekvationen ovan behöver du bara summera talen \( 3\,\) och \( 4\,\) och sätta summan med omvänt förtecken framför \( x\,\), så får du den linjära termen. Sedan multiplicerar du talen med varandra, så får du ekvationens konstanta term. Sedan kan du låta dina vänner, om de orkar, lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av en generell matematisk sats (Vietas formler).
För att förstå exemplet ställer vi upp faktorformen \( (x-3) \cdot (x-4) \) och utvecklar den så här:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi i mellanräkningen, till synes onödigt, skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga sambandet mellan polynomets koefficienter -7 och 12 å ena sidan och dess nollställen 3 och 4 å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av nollställena 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till nollställena 3 och 4.
Exemplet är bara en tillämpning av följande generellt samband mellan 2:gradspolynomets koefficienter och dess nollställen, vilket ger oss ett verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter:
Sats (Vietas formler):
- Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad \qquad \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Bevis:
Satsen om faktorisering med 2 nollställen som behandlas i teoridelen säger:
- Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2\,-\,x_2\,x\,-\,x_1\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 = x^2\,-\,(x_1+x_2)\,x\,+\,x_1 \cdot x_2 \]
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
Denna sats kan generaliseras ytterligare till polynom av högre grad än 2. Den franske matematikern François Viète var en av de första som såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna som för 2:a gradspolynom ser ut så här \( x_1 + x_2 = -p\, \) och \( x_1 \cdot x_2 = q \) efter honom Vietas formler.
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda p-q-formeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom. Läs även om nackdelen med Vietas formler.
Exempel 2
Ta ekvationen
\( x^2 - 7\,x + 10 = 0 \)
För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man 2 och 5 eftersom \( 2 + 5 = 7\, \) och \( 2 \cdot 5 = 10 \).
Prövning bekräftar resultatet\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]
\( 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \)
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
Exempel 3
Till ekvationen
\( x^2 - 6\,x + 9 = 0 \)
ger Vietas formler\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-6) = 6 \\ x_1 \cdot x_2 & = 9 \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( x_1 = 3\,\) och \( x_2 = 3\,\) eftersom \( 3 + 3 = 6\,\) och \( 3 \cdot 3 = 9 \).
Därför kan polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) faktoriseras så här\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x - 3) \cdot (x - 3) = (x - 3)^2 \]
Den dubbla förekomsten av faktorn \( (x-3)\,\) ger roten, dvs lösningen \( x = 3\,\), dess namn dubbelrot.
Nackdelen med Vieta
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]
Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.
Med p-q formeln får man (se lösningen till övning 10 b))\[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella\[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
