3.1 Växande och avtagande
| Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Lektion 27 Växande och avtagande I
Lektion 28 Växande och avtagande II
Innehåll
Förutsättning i hela det här avsnittet är att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.
Regler om växande och avtagande
I de kommande avsnitten kommer vi att använda en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, i detta avsnitt t.ex. för att få reda på om funktionen växer eller avtar. För just det här ändamålet räcker det med att titta på derivatans tecken, medan dess värde inte spelar någon roll. Med tecken menas \( \,+\, \) eller \( \,-\, \) som står framför ett tal för att visa om talet är positivt eller negativt. Följande regler kan vi använda:
| :
Derivatans tecken avgör om en funktion är växande eller avtagande:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är avtagande för \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)
|
|
Om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \; {\bf {\color{Red} =}} \; 0 {\color{White} x} \) är funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) varken växande eller avtagande för \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man då kan dra behandlas i nästa avsnitt.
Ibland används även termen "strängt" växande/avtagande. Med "strängt" vill man utesluta fallet "derivatan \( \, = \, 0 \)" vilket vi redan gjort. Därför menar vi alltid strängt växande/avtagande när vi pratar om växande/avtagande.
I exemplet nedan visas grafen till en funktion som först avtar (negativ derivata), för att sedan växa (positiv derivata). Men hur avgörs detta algebraiskt och framför allt hur beräknas och anges exakt för vilka \(\, x \) funktionen är avtagande resp. växande? Detta behandlas i exemplen 1-3 som följer.
Exempel 1 Vinternatt
 |
Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \)
där \( y \; = \) temperaturen i grader Celsius och \( x \; = \) tiden i timmar efter midnatt Funktionen \(\, f(x)\):s definitionsområde: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \) a) Avgör algebraiskt om temperaturen är växande eller avtagande vid:
|
Lösning:
a) För att kunna använda reglerna ovan ställer vi upp derivatan:
- \[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]
- \[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]
För att bestämma derivatans tecken måste vi beräkna derivatans värden för de efterfrågade tiderna:
- \( f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är avtagande vid kl 2.
- \( f'(5) \, = \, 0,48 \cdot 5 - 2,4 {\color{White} {= -0,48 }}= \, 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är varken växande eller avtagande vid kl 5.
- \( f'(7) \, = \, 0,48 \cdot 7 - 2,4 = {\color{White} -} 0,96 > 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är växande vid kl 7.
b) På bilden till vänster är kurvan \( \, f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \, \) samt tangenterna till kurvan i \( x = 2 \, , \; x = 5 \) och \( x = 7 \, \) ritade i samma koordinatsystem.
Till höger visas grafen till derivatan \( \, f'(x) = 0,48\,x - 2,4 \, \) som är en rät linje i ett annat koordinatsystem:
På bilden till vänster ser man att temperaturen \( f(x) \, \) sjunker från \( \, 7 \) grader Celsius vid midnatt till \( \, 1 \) grad vid kl \( \, 5 \) på morgonen. I hela detta tidsintervall avtar \( f(x) \, \) vilket innebär att derivatan \( f'(x) \, \) är negativ. Ett exempel på det är \( f'(2) = -1,44\, \), dvs tangenten till kurvan i \( x = 2 \, \) har negativ lutning: \( f' < 0\, \).
Kl \( \, 5 \) på morgonen har temperaturen \( f(x) \, \) nått sitt minimum på \( \, 1 \) grad Celsius vilket innebär att derivatan \( f'\, \) i denna punkt är \( \, 0 \), dvs tangenten till kurvan i derivatan \( f'(x) \, \) har lutningen \( \, 0\): \( f'(5) = 0\, \).
Sedan stiger temperaturen \( f(x) \, \) från \( \, 1 \) grad Celsius vid kl \( \, 5 \) till lite under \( \, 4 \) grader Celsius vid kl \( \, 8 \) på morgonen. I hela detta tidsintervall växer \( f(x) \, \) vilket innebär att derivatan \( f'(x) \, \) är positiv. Ett exempel på det är \( f'(7) = 0,96\, \), dvs tangenten till kurvan i \( x = 7 \, \) har positiv lutning: \( f' > 0\, \).
På bilden till höger är endast grafen till derivatan \( f\,'(x) \, \) avbildad. Man ser att den är negativ för alla värden \( x < 5 \, \) och positiv för alla värden \( x > 5 \, \). I \( x = 5 \, \) skär grafen \( \, x\)-axeln, dvs derivatan är \( 0 \, - \, \) allt i överensstämmelse med resultaten från \( f(x) \, \) på bilden till vänster. Att derivatans graf är en rät linje beror på att den ursprungliga funktionen \( f(x) \, \) är en 2:a gradsfunktion.
Exempel 2 Teckenstudium
Ofta studeras en funktion med hjälp av en s.k. teckentabell. Att arbeta med en teckentabell kallas teckenstudium. Närmare bestämt studerar man derivatans tecken för att därav dra slutsatser om funktionens växande resp. avtagande. Praktiskt relevant är sådana teckenstudier relevanta kring derivatans nollställen.
Följande teckentabell innehåller information om funktionen \(\, y = f(x)\):s derivata:
| \(x\) | \(2\) | \(4\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ? | ? | ? |
Använd teckentabellen ovan för att ange när funktionen \(\, y = f(x) \) är växande och när den är avtagande.
a) Fyll i dina svar på de platser i tabellen där det står ett frågetecken (?).
Använd i tabellen symbolen ↗ för växande och symbolen ↘ för avtagande.
b) Ange dina svar med hjälp av olikheter eller intervall på \( \,x\)-axeln.
c) Skissa en graf till funktionen \(\, y = f(x) \) som endast visar det kvalitativa (ungefärliga) förloppet av kurvan \(\, y = f(x) \).
Lösning:
a) Där derivatan är negativ är funktionen avtagande. Där derivatan är positiv är funktionen växande. Således:
| \(x\) | \(2\) | \(4\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
b) För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 2 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( {\color{White} x} 2 < x < 4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
c) Följande graf visar hur grafen till funktionen \(\, y = f(x) \) skulle kunna se ut.
\(\, x\)-värdena är relaterade till kurvan och tabellen, medan \(\, y\)-värdena är obestämda och inte heller relevanta här.
Praktisk anmärkning:
Ställer man själv upp en teckentabell borde man av praktiska skäl se till att \(\,x \)-värdena dvs derivatans nollställen i tabellen är ordnade (sorterade) efter storlek precis som på \(\,x \)-axeln.
Teoretisk anmärkning:
Avgörande för att teckenstudium är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.
Exempel 3 Företagsvinst
Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:
- \[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]
där \( V \; = \) företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och
\( t \;\, = \) tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)
I vissa tider ökar vinsten, i andra avtar vinsten.
a) Rita graferna till vinstfunktionen \( V(t) \, \) och dess derivata i separata koordinatsystem.
b) Använd och tolka graferna i a) för att besvara frågan:
För vilka värden på \( t \, \) är funktionen \( V(t) \, \) växande och för vilka värden är den avtagande?
Dvs under vilka tidsperioder ökar vinsten och under vilka minskar vinsten?
c) Bekräfta dina grafiska resultat från b) med några algebraiska beräkningar.
Lösning:
a) Vinstfunktionen samt derivatan:
- \[ V(t) \, = \, -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]
- \[ V'(t) \, = \, -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]
b) Grafen till vänster visar att Vinstfunktionen \( V(t) \, \)
- avtar för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 1 \leq t < 2 \)
- växer för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 2 < t < 4 \)
- avtar för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 4 < t \leq 5 \)
Grafen till höger visar att derivatan \( V\,'(t) \) till vinstfunktionen är
- negativ (under \( \, t\)-axeln) för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 1 \leq t < 2 \)
- positiv (över \( \, t\)-axeln) för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 2 < t < 4 \)
- negativ (under \( \, t\)-axeln) för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 4 < t \leq 5 \)
Överallt där derivatan är negativ avtar vinstfunktionen. Överallt där derivatan är positiv växer vinstfunktionen.
c) För att bestämma derivatans tecken beräknas derivatans värden för vissa tider ur de tre intervallen från b):
- \( V'(1) \, = \, -9 \cdot 1^2 + 54 \cdot 1 - 72 = -27 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Vinsten är avtagande för t = 1.
- \( V'(3) \, = \, -9 \cdot 3^2 + 54 \cdot 3 - 72 = {\color{White} {-2}} 9 > 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Vinsten är växande för t = 3.
- \( V'(5) \, = \, -9 \cdot 5^2 + 54 \cdot 5 - 72 = -27 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Vinsten är avtagande för t = 5.
Medelvärdessatsen
Den teoretiska grunden för reglerna om växande och avtagande av funktioner är den s.k. medelvärdessatsen, ibland kallad även differentialkalkylens medelvärdessats.
Vi formulerar satsen här utan bevis för att få en bättre förståelse för regeln ovan, men även för att kunna lösa vissa övningar på A-nivå (övn 9-11).
Medelvärdessatsen:
i intervallet \( \, a < x < b \, \). |
 |
Därmed säger medelvärdessatsen att funktionens genomsnittliga förändringshastighet i hela intervallet är lika med derivatan \(-\) den exakta förändringshastigheten \(-\) i någon punkt \( \, c \) inuti intervallet.
Bilden till höger illustrerar medelvärdessatsen: Sekanten till kurvan \( \,y = f(x) \) över intervallet \( \, a < x < b \, \) har samma lutning som tangenten till kurvan i någon punkt \( \, c \, \) inuti intervallet, vilket är den geometriska tolkningen till att den genomsnittliga förändringshastigheten i hela intervallet är lika med derivatan i punkten \( \, c \).
Om man tolkar den genomsnittliga förändringshastigheten som derivatans medelvärde i intervallet, förstår man satsens beteckning. Någonstans i intervallet \(-\) i punkten \( \, c -\) antar derivatan sitt medelvärde. Det sägs ingenting om hur man hittar denna punkt \( \, c \, \). Medelvärdessatsen säger bara att en sådan punkt alltid existerar. Därför kallar man den också för en existenssats. Den högre matematiken är full av sådana existenssatser.
Den för oss praktiskt relevanta slutsatsen ur medelvärdessatsen är att den ger oss reglerna om växande och avtagande. För att visa detta kan man skriva om satsens formel:
- \[\begin{array}{rcl} {f(b) \, - \, f(a) \over b - a} & = & f\,'\,(c) \\ f(b) \, - \, f(a) & = & f'(c) \, \cdot \, (b - a) \end{array}\]
Sedan kan man genom att skilja mellan de två olika fallen \( \,a > b \) och \( \,a < b \), resonera sig fram till reglerna om växande och avtagande av funktionen \( \, f(x) \) i punkten \( \, c \). Vi hoppar över det formella beviset. Istället ska vi i övningarna 9-11 försöka att hitta denna okända punkt vars existens medelvärdessatsen teoretiskt garanterar.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
