2.3 Övningar till Gränsvärde
| <-- Förra avsnitt | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt --> |
E-övningar: 1-5
Övning 1
Bestäm
a) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 0}\, {(x - 8)} \)
b) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3}\, {(2\,x)} \)
c) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 7}\,\, {5 \over x} \)
d) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to -3}\, {(4\,x - 10)} \)
e) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 0}\, {(x^2 - 4\,x + 12)} \)
Hämtar...Övning 2
Beräkna
a) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\, {x\,+\,3 \over x\,+\,2} \)
b) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\,\, {2\,(x^2 + 1) \over x} \)
c) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 0}\,\, {x^2 - 9\,x \over x} \)
d) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\, {-7 \over x} \)
e) \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\, {3\,x\,+\,4 \over x} \)
Övning 3
En termos fylls med hett kaffe i ett rum inomhus. Kaffets temperatur minskar enligt följande modell:
- \[ y = f(x) = 21\,+\,74\cdot 0,86\,^x \]
där \( \, y \) är temperaturen i grader Celsius och \( \, x \) är tiden i timmar efter att kaffet hälldes i termosen.
a) Ange kaffets temperatur när det hälldes i termosen.
b) Rita grafen till funktionen \( y_1 = 0,86\,^x \). Använd grafen för att bestämma \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(0,86\,^x\right) \) .
c) Använd resultatet från b) för att beräkna \( \displaystyle \lim_{x \to \infty}\, \left(21\,+\,74\cdot 0,86\,^x\right) \) .
d) Hur borde resultatet från c) tolkas?
Övning 4
Betrakta funktionen \( \displaystyle {\color{White} x} y = f(x) = {12 \over x - 3} {\color{White} x} \).
a) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \).
b) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, f(x) {\color{White} x} \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
c) Ange \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3^{+}} f(x) {\color{White} x} \) och \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3^{-}} f(x) {\color{White} x} \). Motivera.
d) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3}\,\, f(x) {\color{White} x} \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
Övning 5
Betrakta funktionen \( \displaystyle {\color{White} x} y = f(x) = {x^2\,-\,16 \over x\,-\,4} {\color{White} x} \).
a) Existerar gränsvärdet \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 4}\,\, f(x) {\color{White} x} \)? Om ja beräkna det. Om nej, motivera det.
b) Rita grafen till \( \displaystyle f(x) \). Svara med hjälp av ditt svar från a) på följande frågor:
- Varför är grafen en rät linje fast \( f(x) \, \) inte är en linjär funktion?
- Vad händer med grafen i punkten \( x = 4\, \)?
C-övningar: 6-8
Övning 6
a) Beräkna \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 3}\,\, {x^2\,-\,9 \over 7\,x\,-\,21} \)
b) Bestäm \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to 2}\,\, {x^2\,-\,5\,x\,+\,6 \over x\,-\,2} \)
c) Beräkna \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, {x^2\,-\,2\,x\,+\,3 \over 2\,x^2\,+\,5\,x\,-\,3} \)
d) Bestäm \( \displaystyle {\color{White} x} \lim_{x \to \infty}\,\, {x\,+\,1 \over x^2\,+\,1} \)
Övning 7
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = x^3 \]
a) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) \) och förenkla.
b) Bilda uttrycket \( f(x\,+\,h) - f(x) \) och förenkla.
c) Bilda uttrycket \( \displaystyle {f(x+h) - f(x) \over h} \) och förenkla.
d) Bestäm \( \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \) .
- Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 8
Ange ett exempel på en funktion \( f(x) \) som inte är definierad för \( x = -2 \, \) och som har egenskapen:
- \[ \lim_{x \to -2}\,\,f(x) = 3 \]
Verifiera din lösning genom att göra en prövning.
A-övningar: 9-11
Övning 9
Följande funktion är given:
- \[ y = f(x) = {1 \over x} \]
Bestäm
- \[ \displaystyle \lim_{h \to 0}\,\,{f(x+h) - f(x) \over h} \]
Betrakta under gränsprocessen \( \, x \) som en konstant.
Övning 10
Beräkna gränsvärdet
- \[ \lim_{x \to 1}\,\,{x^3\,-\,1 \over x^2\,-\,6\,x\,+\,5} \]
Ledning: Faktorisera uttryckets täljare och nämnare och förkorta det.
Övning 11
Beräkna gränsvärdet
- \[ \lim_{x \to \infty}\,\,(\,x \,-\, \sqrt{x^2\,-\,x}\,) \]
Ledning: Börja med att förlänga uttrycket i limes med konjugatet och fortsätt sedan att förenkla det.
Konjugatet till \( {\color{White} x} a + \sqrt{b} {\color{White} x} \) är \( {\color{White} x} a - \sqrt{b} {\color{White} x} \) och omvänt.
Copyright © 2011-2015 Math Online Sweden AB. All Rights Reserved.
