Logaritmlagarna

Teori

Logaritmlagarna

Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här av praktiska skäl är vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.

Bevis av logaritmlagarna

Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Istället för \( \lg\, \) skulle kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen. Därför skriver vi upp lagarna och för vi bevisen mera generellt med \( \log\, \).

Logaritmlag 1:

\[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]

Bevis:

Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden med logaritmen till basen \( a\, \):

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \]

\[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.

Logaritmlag 2:

\[ \log\,{A \over B} \; = \; \log A - \log B \]

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av logaritmlag 1. Den andra potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} {a^x \over a^y} \; & = \; a^{x-y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \log_a {a^x \over a^y} \; & = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \end{align} \]

Nya beteckningar \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) ger:

\[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \). Därmed följer påståendet.

Logaritmlag 3:

\[ \log\,A^y \; = \; y \cdot \log A \]

Bevis:

Den tredje potenslagen logaritmeras med logaritmen till basen \( a\, \):

\[\begin{align} (a^x)^y \; & = \; a^{x \cdot y} \qquad \,| \; \log_a\,(\;\;) \\ \log_a (a^x)^y \; & = \; \log_a a^{x \cdot y} \; = \; x \cdot y \; = \; \log_a a^x \cdot y \end{align}\]

Beteckningen \( A = a^x\, \) ger:

\[ \log_a A^y \; = \; \log_a A \cdot y \; = \; y \cdot \log_a A \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) följer påståendet.