3.2 Lokala maxima och minima

Teori

Innehåll

1 Några begrepp
2 Regler om maxima och minima med andraderivata
3 Andraderivata
4 Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt
5 Regler om maxima och minima med teckenstudium
6 Exempel 2 Maximal företagsvinst
7 Exempel 2 med andraderivata
8 Exempel 2 med teckentabell

Förutsättning i hela det här avsnittet är att alla funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) vi behandlar är kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.

Några begrepp

I detta avsnitt kommer vi att använda en funktions derivata som ett verktyg för att få information om själva funktionen, närmare bestämt om funktionens lokala maxima och minima.

Lokala maxima och minima är punkter (•) som har största resp. minsta \( \, y\)-värden lokalt dvs i sin närmaste omgivning, se bilden.

Med maxima och minima menas i detta avsnitt alltid lokala maxima/minima. Därför utelämnas ordet lokalt i detta avsnitt.

Båda tillsammans heter extrema eller extremvärden. På bilden till vänster har vi två extremvärden: \( \, 10 \, \) och \( \, 22 \, \) (OBS! \( \, y\)-värden).

De punkter på \( \, x\)-axeln för vilka extremvärden antas heter extrempunkter. På bilden finns två extrempunkter: \( \, 2 \, \) och \( \, 4 \, \) (OBS! \( \, x\)).

Minimipunktens koordinater är: \( \, (2, 10) \, \). Maximipunktens koordinater är: \( \, (4, 22) \, \).

När vi i fortsättningen pratar om punkten \( {\color{Red} {x = a}} \, \) menar vi alltid punkten med \( {\color{Red} x}\)-koordinaten a.

Gemensamt för alla extrempunkter är att derivatan i dessa punkter är \( \, 0 \), därför att:

Tangenten till funktionens graf i en extrempunkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Följaktligen:

Genom att bilda derivatan, sätta den till \( \, 0 \, \) och beräkna de \( \, x \, \) för vilka derivatan blir \( \, 0 \, \), kan vi få reda på funktionens extrempunkter.

Sedan gäller det att skilja mellan minimi- och en maximipunkter bland extrempunkterna.

Det finns två alternativa metoder att göra det, den ena använder andraderivatan, den andra genomför ett teckenstudium. Vi ställer upp regler och löser exempel för båda metoderna.

Regler om maxima och minima med andraderivata

Två kriterier behövs för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om andraderivatans tecken. Båda måste vara uppfyllda. Följande regler gäller:

:

Regler med andraderivata:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)

Om derivatan \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och andraderivatan \( {\color{White} x} f\,''(a) \, {\bf {\color{Red} =}} \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen varken ett maximum eller ett minimum.

Reglerna ovan säger i ord:

Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är negativ har funktionen ett maximum.

Där derivatan är \( \, 0 \) och andraderivatan är positiv har funktionen ett minimum.

Där både derivatan och andraderivatan är \( \, 0 \) föreligger varken ett maximum eller ett minimum. Vad som gäller då behandlas i nästa avsnitt.

Andraderivata

Med derivata menas alltid första derivatan. :

Med andraderivata menas derivatans derivata som betecknas med \( f\,''(x) \) och läses \( {\rm "}f \; {\rm biss\;av\; } x\,{\rm "}\).

Man får andraderivatan genom att derivera derivatans funktion en gång till enligt deriveringsreglerna.

I exemplet nedan, där en funktion behandlas vars graf visar ett minimum, ges exempel på andraderivatan. En algebraisk metod används för att med hjälp av reglerna ovan hitta detta minimum. I praktiken bestäms först det \(\, x \) för vilket funktionen antar sitt minsta värde. Med detta \(\, x \) beräknas sedan funktionens minimum.

Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt

Vi återgår till Exempel 1 i förra avsnitt, men byter frågeställning: Vi tittar inte längre på funktionens växande eller avtagande utan på funktionens minsta värde (minimum):

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 {\color{White} x} \; \) med definitionsområdet: \( \quad 0 \leq x \leq 8 \).

där \( y \; = \) temperaturen i grader Celsius och

\( x \; = \) tiden i timmar efter midnatt

a) Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,f(x) \), \( \,f'(x) \) och \( \,f''(x) \) i separata koordinatsystem.

b) Bestäm nattens kallaste tidpunkt algebraiskt.

c) Bestäm nattens lägsta temperatur algebraiskt.

Lösning:

a) \( f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \)

\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]

\[ f''(x) \, = \, 0,48 \]

b) För att få reda på derivatans nollställe som reglerna om maxima och minima med andraderivata kräver sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar den tidpunkt \( x \, \) då derivatan blir \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]

Nu vet vi att derivatan blir \( \, 0 \) i \( x = 5 \, \) dvs tangenten till kurvan \( y = f(x) \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontell i \( x = 5 \, \).

Därmed är det bevisat att \( \, x = 5 \, \) är en extrempunkt. Men en extrempunkt kan vara ett maximum eller ett minimum.

För att avgöra om denna extrempunkt är ett maximum eller ett minimum kräver regeln andraderivatans tecken.

Därför sätter vi \( x = 5 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ f''(5) = 0,48 \,>\, 0 \]

Andraderivatan är positiv (konstant) för alla \( x \, \) och därmed även för \( x = 5 \, \). Därav följer att \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x_{min} = 5 \, \).

Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl \( 5 \, \).

c) Temperaturen vid kl \( 5 \, \) är:

\[ f(x_{min}) = f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

Alltså är nattens lägsta temperatur \( 1 \, \) grad Celsius.

Regler om maxima och minima med teckenstudium

Alternativt till andraderivatan finns det möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att skilja mellan minimi- och en maximipunkter.

Även här finns det två kriterier för att få reda på en funktions maxima och minima: ett om derivatans nollställen, ett om derivatans teckenbyte. Till skillnad från metoden med andraderivatan klarar sig teckenstudium med endast första derivatan. Närmare bestämt gäller följande regler:

:

Regler med teckenstudium:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett maximum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'(x) {\color{White} x} \) byter tecken från \( {\color{White} x} + {\color{White} x} \) till \( {\color{White} x} - {\color{White} x} \) kring \( \, a \).

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har ett minimum i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'(x) {\color{White} x} \) byter tecken från \( {\color{White} x} - {\color{White} x} \) till \( {\color{White} x} + {\color{White} x} \) kring \( \, a \).

Med kring \( \, a \) menas i en nära omgivning av\( \, a \, \) eller i en tillräckligt liten omgivning av\( \, a \), vilket i praktiken betyder att man ska undersöka ett ev. teckenbyte i en omgivning som är så nära som möjligt nollstället \( \, x=a \). Vad en tillräckligt liten omgivning av\( \, a \,\) exakt innebär beror på den aktuella funktionen \( \, f(x)\):s egenskaper.

Om derivatan \( \, f\,'(a) = 0 \, \) men \( \, f\,'(x) \, \) inte byter tecken kring \( \, a \) har \( \, f(x) \, \) varken ett maximum eller ett minimum i \( \, x = a \, \). Vilka slutsatser man då kan dra behandlas i nästa avsnitt.

För att demonstrera regeln ovan tar vi samma exempel som vi behandlade med andraderivatan: Exempel 1 Vinternattens kallaste tidpunkt. Vi bibehåller frågeställningen, men byter metod: Vi bestämmer fortfarande derivatans nollställen, men använder inte längre andraderivatan utan regeln ovan för att med hjälp av en teckentabell skilja mellan maximum och minimum. I exempel 1 hade vi redan bestämt att derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 5 \). För säkerhets skull kontrollerar vi detta:

\[ f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) = 0,48\,x - 2,4 \]

\[ f' (5) = 0,48\cdot 5 - 2,4 = 0 \]

Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 5 \). Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 4,9 \) och \( \, x = 5,1 \) på \( \, x\)-axeln som är ganska nära derivatans nollställe och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ f' (4,9) = 0,48\cdot 4,9 - 2,4 = - 0,048 < 0 \]

\[ f' (5,1) = 0,48\cdot 5,1 - 2,4 = 0,048 > 0 \]

För översiktlighetens skull skriver vi in våra resultat i följande teckentabell:

\(x\)	\(4,9\)	\(5\)	\(5,1\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\( \,f(x) \)	↘	Min	↗

Samtidigt tillämpar vi reglerna om maxima och minima med teckentabell och drar av den slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har ett minimum i \( \, x = 5 \), därför att \( f\,'(5) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 5 \) när vi rör oss framåt på \(\,x\)-axeln. Även denna slutsats finns med i teckentabellen.

Dessutom har vi för tydlighetens skull använt oss av ↘ och ↗ för att illustrera att \( f(x)\, \) är avtagande till vänster om och växande till höger om \( \, 5 \) vilket åskådliggör att det föreligger ett minimum i \( \, x = 5 \).

Exempel 2 Maximal företagsvinst

Vi återgår till Exempel 3 i förra avsnitt, men byter frågeställning: Vi frågar inte längre under vilka perioder företagets vinst växer eller avtar utan när företaget uppnår maximal vinst och hur stor denna vinst blir. Dvs vi vill nu bestämma vinstfunktionens maximum.

Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:

\[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]

där \( V \; = \) företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och

\( t \;\, = \) tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)

a) Ställ upp första- och andraderivatan. Rita graferna till \( \,V(t) \), \( \,V'(t) \) och \( \,V''(t) \) i separata koordinatsystem.

b) När har företaget maximal vinst?

c) Hur stor är företagets maximala vinst?

Frågorna b) och c) ska besvaras algebraiskt. Dessutom ska b) lösas både med andraderivatan och teckentabellen.

Lösning:

a) \( V(t) \, = \, -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \)

\[ V'(t) \, = \, -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

\[ V''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

b) Derivatan är en 2:a gradsfunktion och har två reella nollställen. För att få reda på dem sätter vi derivatan till \( \, 0 \):

\[\begin{array}{rcrcl} V'(t) & = & -9\,t^2 + 54\,t - 72 & = & 0 \\ & & t^2 - 6 \,t + 8 & = & 0 \end{array}\]

2:a gradsekvationen kan enkelt och snabbt lösas med Vieta:

\[ \begin{array}{rcl} t_1 \cdot t_2 & = & 8 \\ t_1 + t_2 & = & -(-6) = 6 \\ &\Downarrow& \\ t_1 & = & 2 \\ t_2 & = & 4 \end{array}\]

Dvs \( V'(2) = V'(4) = 0\, \) vilket innebär att tangenterna till kurvan \( V(t)\, \) i punkterna \( t_1 = 2 \, \) och \( t_2 = 4 \, \) har lutningen \( 0\, \) dvs är horisontella. Horisontella tangenter kan innebära att kurvan har maximum eller minimum i dessa punkter. För att skilja mellan maximum och minimum har vi två metoder till förfogande: andraderivatan och teckentabellen. Vi använder dem en i taget:

Exempel 2 med andraderivata

Reglerna om maxima och minima med andraderivata som kräver andraderivatans tecken tillämpas enskilt på vart och ett nollställe till derivatan.

Nollställe 1: \( {\color{White} x} t_1 = 2 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( t_1 = 2 \, \) i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V''(t) \, = \, -18\,t + 54 \]

\[ V''(2) \, = \, -18\cdot 2 + 54 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( t_1 = 2 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett minimum i \( t_1 = 2 \, \).

Nollställe 2: \( {\color{White} x} t_2 = 4 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( t_2 = 4 \, \) in i andraderivatan och kollar om den blir positiv eller negativ:

\[ V''(4) \, = \, -18\cdot 4 + 54 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( t_2 = 4 \, \). Slutsats: \( V(t) \, \) har ett maximum i \( t_2 = 4 \, \).

Alltså har företaget sin största vinst efter \( t_2 = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

Exempel 2 med teckentabell

Alternativt kräver reglerna om maxima och minima med teckentabell derivatans teckenbyte i en nära omgivning av derivatans nollställen. Vi tillämpar regeln enskilt på vart och ett nollställe.

Nollställe 1: \( {\color{White} x} t_1 = 2 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 1,9 \) och \( \, t = 2,1 \) på t-axeln som är ganska nära derivatans nollställe 1 och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V'(t) = -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

\[ V' (1,9) = -9\cdot 1,9^2 + 54\cdot 1,9 - 72 = -1,89 < 0 \]

\[ V' (2,1) = -9\cdot 2,1^2 + 54\cdot 2,1 - 72 = 1,71 > 0 \]

Nollställe 2: \( {\color{White} x} t_2 = 4 \)

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, t = 3,9 \) och \( \, t = 4,1 \) på t-axeln nära \( t_2 \) och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:

\[ V' (3,9) = -9\cdot 3,9^2 + 54\cdot 3,9 - 72 = 1,71 > 0 \]

\[ V' (4,1) = -9\cdot 4,1^2 + 54\cdot 4,1 - 72 = -1,89 < 0 \]

Resultaten från båda nollställena skrivs in i följande teckentabell:

\(t\)	\(1,9\)	\(2\)	\(2,1\)	\(3,9\)	\(4\)	\(4,1\)
\( V\,'(t) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,V(t) \)	↘	Min	↗	↗	Max	↘

Man kan förkorta teckentabellen ovan och redovisa den lite enklare, eftersom derivatan inte har fler nollställen än \( \, t_1 = 2 \) och \( \, t_2 = 4 \), så att derivatans teckenbyten inte kan vara fler eller andra än de angivna. Därför kan derivatan inte ha något teckenbyte mellan nollställena. Av samma anledning är själva \( \, t\)-värdena kring nollställena irrelevanta. Endast att derivatan byter tecken när man byter sida kring nollställena är av intresse:

\(t\)		\(2\)		\(4\)
\( V\,'(t) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,V(t) \)	↘	Min	↗	Max	↘

Även slutsatserna ur reglerna om maxima och minima med teckentabell finns med i teckentabellen:

\( V(t)\, \) har ett minimum i \( \, t_1 = 2 \), därför att \( V\,'(2) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(-\) till \( + \) kring \( \, 2 \).

\( V(t)\, \) har ett maximum i \( \, t_2 = 4 \), därför att \( V\,'(4) = 0 \) och \( V\,'(t) \) byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \, 4 \).

Resultatet är förstås det samma som vi fick när vi löste uppgiften med andraderivatan: Företaget har sin största vinst efter \( t_{max} = 4 \, \) år efter årsskiftet 2009/2010, dvs vid årsskiftet 2013/2014.

c) För att få företagets maximala vinst sätter vi in \( t_{max} = 4 \, \) i vinstfunktionen:

\[ V(t) = -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]

\[ V(t_{max}) = V(4) = -3\cdot 4^3 + 27\cdot 4^2 - 72\cdot 4 + 60 = 12 \]

Alltså är företagets maximala vinst \( 12\,000 \) kr som antas vid årsskiftet 2013/2014.