3.1 Växande och avtagande

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion xx Växande och avtagande

Regler om växande och avtagande

:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är avtagande för \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\bf {\color{Red} <}} \, 0 {\color{White} x}. \)

---

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är  växande  för \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\bf {\color{Red} >}} \, 0 {\color{White} x}. \)

Det är alltså derivatans förtecken som avgör om en funktion är växande eller avtagande i en viss punkt.

Exempel 1 Vinternatt

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \)

där   \( y \; = \)   temperaturen i grader Celsius och

        \( x \; = \)   tiden i timmar efter midnatt \(. \qquad\qquad\qquad\qquad \) Definitionsområde: \( \qquad 0 \leq x \leq 8 \)

a)   Avgör om temperaturen är växande eller avtagande vid:

• kl 2
• kl 4
• kl 7

b)   Bestäm nattens kallaste tidpunkt.

c)   Bestäm nattens lägsta temperatur.

d)   Visualisera dina resultat från a) \( - \) c) i lämpliga grafer. Tolka dina resultat med hjälp av graferna.

Lösning:

a)   För att kunna använda reglerna ovan måste vi bilda derivatan:

\[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]

     För att bestämma derivatans förtecken måste vi beräkna derivatans värden för de efterfrågade tiderna:

\( f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är avtagande vid kl 2.

\( f'(4) \, = \, 0,48 \cdot 4 - 2,4 = -0,48 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är avtagande vid kl 4.

\( f'(7) \, = \, 0,48 \cdot 7 - 2,4 = {\color{White} -} 0,96 > 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är växande vid kl 7.

b)   Från a) vet vi att derivatan \( f' \, \) byter förtecken från \( - \) till \( + \) mellan kl 4 och 7, dvs någon gång mellan kl 4 och 7 - vi vet inte än när, därför ? - måste derivatan vara \( 0 \, \), eftersom \( f'(x) \, \) är en kontinuerlig funktion och måste, för att byta förtecken, gå genom \( 0 \, \):

\[ f'(4) \, < \, 0 \]

\[ f'(?) \, = \, 0 \]

\[ f'(7) \, > \, 0 \]

Detta innebär att temperaturen \( f(x) \, \) byter från att avta till att växa. Härav följer att temperaturen når sitt lägsta värde någon gång mellan kl 4 och 7. Vid denna tidpunkt som är okänd (?) måste derivatan vara \( = \, 0 \). För att få reda på denna tidpunkt sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar tidpunkten \( x \, \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]

      Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl 5.

c)   Temperaturen vid kl \( 5 \, \) är:

\[ f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

      Alltså är nattens lägsta temperatur 1 grad Celsius.

d)   På bilden till vänster är kurvan \( {\color{White} x} f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 {\color{White} x} \) samt tangenterna till den i \( x = 2 \, , \; x = 5 \) och \( x = 7 \, \) ritade i samma koordinatsystem.

      Till höger visas grafen till derivatan \( {\color{White} x} f'(x) = 0,48\,x - 2,4 {\color{White} x} \) som är en rät linje i ett annat koordinatsystem:

      

På bilden till vänster ser man att temperaturen \( f(x) \, \) sjunker från 7 grader Celsius vid midnatt till 1 grad vid kl 5 på morgonen. I hela detta tidsintervall avtar \( f(x) \, \) vilket innebär att derivatan \( f'(x) \, \) är negativ. Ett exempel på det är \( f'(2) = -1,44\, \), dvs tangenten till kurvan i \( x = 2 \, \) har negativ lutning: \( f' < 0\, \).

Vid kl 5 på morgonen har temperaturen \( f(x) \, \) nått sitt minimum på 1 grad Celsius vilket innebär att derivatan \( f'\, \) i denna punkt är 0, dvs tangenten till kurvan i derivatan \( f'(x) \, \) har lutningen 0: \( f'(5) = 0\, \).

Sedan stiger temperaturen \( f(x) \, \) från 1 grad Celsius vid kl 5 till lite under 4 grader Celsius vid kl 8 på morgonen. I hela detta tidsintervall växer \( f(x) \, \) vilket innebär att derivatan \( f'(x) \, \) är positiv. Ett exempel på det är \( f'(7) = 0,96\, \), dvs tangenten till kurvan i \( x = 7 \, \) har positiv lutning: \( f' > 0\, \).

På bilden till höger är endast grafen till derivatan \( f'(x) \, \) avbildad. Man ser att den är negativ för alla värden \( x < 5 \, \) och positiv för alla värden \( x > 5 \, \). I \( x = 5 \, \) skär grafen \( \, x-\)axeln, dvs derivatan är 0 \( - \, \) allt i överensstämmelse med resultaten från \( f(x) \, \) på den vänstra bilden. Att grafen till derivatan är en rät linje beror på att den ursprungliga funktionen \( f(x) \, \) är en 2:a gradsfunktion.

Exempel 2 Företagsvinst

Efter statistiska observationer har man kommit fram till att ett företags vinst kan beräknas enligt funktionen:

\[ V(t) \; = \; -3\,t^3\,+\,27\,t^2\,-\,72\,t\,+\,60 \]

där   \( V \; = \)   företagets vinst i \( 1\,000 \) kr och

         \( t \;\, = \)   tiden i antalet år efter årsskiftet 2009/2010 \(. \qquad \) Definitionsområde: \( \; 1 \leq t \leq 5 \)

I vissa tider ökar vinsten, i andra avtar vinsten.

a)   Rita graferna till vinstfunktionen \( V(t) \, \) och dess derivata i separata koordinatsystem.

b)   Använd och tolka graferna i a) för att besvara frågan:

      För vilka värden på \( t \, \) är funktionen \( V(t) \, \) växande och för vilka värden är den avtagande?

      Dvs under vilka tidsperioder ökar vinsten och under vilka minskar vinsten?

c)   Bekräfta dina grafiska resultat från b) med några algebraiska beräkningar.

Lösning:

a)   Vinstfunktionen samt derivatan:

\[ V(t) \, = \, -3\,t^3 + 27\,t^2 - 72\,t + 60 \]

\[ V'(t) \, = \, -9\,t^2 + 54\,t - 72 \]

b)   Grafen till vänster visar att Vinstfunktionen \( V(t) \, \)

• avtar  för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 1 \leq t < 2 \)
• växer för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 2 < t < 4 \)
• avtar  för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 4 < t \leq 5 \)

      Grafen till höger visar att derivatan \( V\,'(t) \) till vinstfunktionen är

• negativ (under \( \, t\)-axeln) för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 1 \leq t < 2 \)
• positiv  (över \( \, t\)-axeln)    för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 2 < t < 4 \)
• negativ (under \( \, t\)-axeln) för alla \( t \, \) med \( {\color{White} x} 4 < t \leq 5 \)

      Överallt där derivatan är negativ avtar vinstfunktionen. Överallt där derivatan är positiv växer vinstfunktionen.

c)   För att bestämma derivatans förtecken beräknas derivatans värden för vissa tider ur de tre intervallen från b):

\( V'(1) \, = \, -9 \cdot 1^2 + 54 \cdot 1 - 72 = -27 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Vinsten är avtagande för t = 1.

\( V'(3) \, = \, -9 \cdot 3^2 + 54 \cdot 3 - 72 = {\color{White} {-2}} 9 > 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Vinsten är växande för t = 3.

\( V'(5) \, = \, -9 \cdot 5^2 + 54 \cdot 5 - 72 = -27 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Vinsten är avtagande för t = 5.