2.4 Derivatans definition

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

Nästa avsnitt -->

Lektion 13 Derivatans definition

Innehåll

1 Exempel Oljetank
2 Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet
3 Från sekanten till tangenten
4 Derivatan som gränsvärde
5 Derivatan som funktion
6 Internetlänkar

Exempel Oljetank

I avsnittet Genomsnittlig förändringshastighet behandlade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \qquad\qquad\qquad {\rm vars\;graf\;ser\;ut\;så\;här:} \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

Beräkna oljans exakta dvs momentana utströmningshastighet när den är störst.

Lösning:

Grafen visar att kurvans lutning är störst i \( x = 0\, \), vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter, och därmed trycket på hålet är störst. Vi ska alltså beräkna:

Oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \).

Det ska vi nu göra genom att gå över från genomsnittlig (Exempel 2 d) till momentan förändringshastighet.

Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet

Den allmänna definitionen till genomsnittlig förändringshastighet är:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]

Vi sätter in i definitionen ovan \( \, x_1 = 0 \) och använder \( f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \). Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \):

\[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 \]

För att få oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \) låter vi \( h\, \) i uttrycket ovan gå mot \( 0\, \) dvs vi beräknar gränsvärdet:

\[ \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]

Vid tidpunkten \( x = 0 \, \) sjunker oljans volym med exakt \( 380\, \) liter per minut.

I Exempel 2 d hade vi fått närmevärdet \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \) vilket var en ganska bra approximation för den momentana utströmningshastigheten. Approximationen hade varit ännu bättre om vi hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) eller \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \) osv. Exakt blir den när vi väljer intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \) och låter \( h \to 0 \).

\( -\,380 \) kallas funktionen \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \), betecknas med \( f\,'\,(0)\) och läses \( {\rm " } f \; {\rm prim\;av\; } 0 \; {\rm " }.\)

Derivatan har i exemplet ovan den fysikaliska tolkningen som oljans momentana utströmningshastighet. En geometrisk tolkning av den vore tangentens lutning till kurvan \( y = f\,(x) \) i punkten \( \, x = 0 \), se grafen ovan. Vi ska nu titta närmare på den geometriska tolkningen av derivatan.

Från sekanten till tangenten

Fil:DerivatDef1 50.jpg

Derivatan som gränsvärde

Fil:DerivatDef2 50.jpg

Derivatan som funktion

Både det fysikaliska Exemplet Oljetank och den geometriska tolkningen

Fil:DerivatDef3 50.jpg

En annan notation för derivatan av en funktion \( y = f(x)\, \) som anknyter till \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \), är \( \displaystyle {dy \over dx} \) vilket vi dock inte kommer att använda så ofta.