3.1 Växande och avtagande

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion xx Växande och avtagande

Exempel 1 Vinternatt

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \)

där   \( y \; = \)   temperaturen i grader Celsius och

        \( x \; = \)   tiden i timmar efter midnatt \( {\color{White} ,} \qquad\qquad\qquad\qquad \) Definitionsområde: \( \qquad 0 \leq x \leq 8 \)

a)   Avgör om temperaturen är växande eller avtagande vid:

• kl 2
• kl 4
• kl 7

b)   Bestäm nattens kallaste tidpunkt.

c)   Bestäm nattens lägsta temperatur.

d)   Visualisera dina resultat från a) \( - \) c) i lämpliga grafer. Tolka dina resultat med hjälp av graferna.

Lösning:

a)   Frågan om växande eller avtagande avgörs av derivatans förtecken enligt följande regel:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är avtagande för \( x = a \, \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\color{Red} <} \, 0 {\color{White} x}. \)

---

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är   växande   för \( x = a \, \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\color{Red} >} \, 0 {\color{White} x}. \)

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är avtagande för \( x = a \, \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\color{Red} <} \, 0 {\color{White} x}. \)

---

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är   växande   för \( x = a \, \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\color{Red} >} \, 0 {\color{White} x}. \)

\[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]

\( f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är avtagande vid kl 2.

\( f'(4) \, = \, 0,48 \cdot 4 - 2,4 = -0,48 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är avtagande vid kl 4.

\( f'(7) \, = \, 0,48 \cdot 7 - 2,4 = {\color{White} -} 0,96 > 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} \) Temperaturen är växande vid kl 7.

b)   Från a) vet vi att derivatan \( f' \, \) byter förtecken från \( - \) till \( + \) mellan kl 4 och 7, dvs någon gång mellan kl 4 och 7 - vi vet inte än när, därför ? - måste derivatan vara \( 0 \, \), eftersom \( f'(x) \, \) är en kontinuerlig funktion och måste, för att byta förtecken, gå genom \( 0 \, \):

\[ f'(4) \, < \, 0 \]

\[ f'(?) \, = \, 0 \]

\[ f'(7) \, > \, 0 \]

Detta innebär att temperaturen \( f(x) \, \) byter från att avta till att växa. Härav följer att temperaturen når sitt lägsta värde någon gång mellan kl 4 och 7. Vid denna tidpunkt som är okänd (?) måste derivatan vara \( = \, 0 \). För att få reda på denna tidpunkt sätter vi derivatan till \( \, 0 \) och beräknar tidpunkten \( x \, \):

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & 0,48\,x - 2,4 & = & 0 \\ & & 0,48\,x & = & 2,4 \\ & & x & = & {2,4 \over 0,48} \\ & & x & = & 5 \end{array}\]

      Alltså är nattens kallaste tidpunkt kl 5.

c)   Temperaturen vid kl \( 5 \, \) är:

\[ f(5) = 0,24 \cdot 5^2 - 2,4 \cdot 5 + 7 = 1 \]

      Alltså är nattens lägsta temperatur 1 grad Celsius.

d)   I bilden nedan är till vänster kurvan \( {\color{White} x} f(x) = 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 {\color{White} x} \) samt tangenterna till den i \( x = 2 \, , \; x = 5 \) och \( x = 7 \, \) ritade i samma koordinatsystem.

      Till höger visas grafen till derivatan \( {\color{White} x} f'(x) = 0,48\,x - 2,4 {\color{White} x} \) som är en rät linje i ett annat koordinatsystem:

      

I den vänstra bilden ser man att temperaturen \( f(x) \, \) avtar från 7 grader Celsius vid midnatt till 1 grad vid kl 5 på morgonen. I hela detta tidsintervall är derivatan negativ. Ett exempel på det är \( f'(2) = -1,44\, \): Tangenten till kurvan i \( x = 2 \, \) har negativ lutning\[ f' < 0\, \]. +++