3.1 Växande och avtagande

Teori

Övningar

--> Nästa avsnitt

Lektion xx Växande och avtagande

Exempel 1 Vinternatt

Under en vinternatt varierar temperaturen enligt funktionen \( {\color{White} x} \; y \, = \, f(x) \, = \, 0,24\,x^2\,-\,2,4\,x\,+\,7 \)

där   \( y \; = \)   temperaturen i grader Celsius och

        \( x \; = \)   tiden i timmar efter midnatt, \( {\color{White} x} \quad 0 \leq x \leq 8 \)

a)   Avgör om temperaturen är växande eller avtagande vid:

• kl 2
• kl 4
• kl 7

b)   Bestäm nattens kallaste tidpunkt.

c)   Bestäm nattens lägsta temperatur.

Lösning:

a)   Frågan om växande eller avtagande avgörs av derivatans förtecken enligt följande regel:

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är avtagande för \( x = a \, \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\color{Red} <} \, 0 {\color{White} x}. \)      

---

Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är   växande   för \( x = a \, \) om derivatan \( {\color{White} x} f'(a) \, {\color{Red} >} \, 0 {\color{White} x}. \)      

\[ f(x) \, = \, 0,24\,x^2 - 2,4\,x + 7 \]

\[ f'(x) \, = \, 0,48\,x - 2,4 \]

\[ f'(2) \, = \, 0,48 \cdot 2 - 2,4 = -1,44 < 0 {\color{White} x} \Rightarrow {\color{White} x} {\rm Temperaturen\;är\;avtagande\;vid\;kl\;2. \]

+++ som har följande graf:        Fil:Ex 1 Vinternatt 50.jpg