Övningar till Exponentialfunktioner och logaritmer
| Teori | Övningar |
G-övningar: 1-6
Övning 1
Vilka av de nedanstående ekvationerna är potensekvationer och vilka är exponentialekvationer?
Lös ekvationerna, om det går exakt, annars med 4 decimalers noggrannhet.
Använd dina kunskaper från potensräkning för att lösa exponentialekvationerna utan räknare. Förklara din lösningsmetod.
a) \( x^8 = 11\, \)
b) \( 2^x = 32\, \)
c) \( (8\,x^3)^{1/3} = 1 \)
d) \( 4^x + 4^{x+1} = 80\, \)
Hämtar...Övning 2
Svara utan att använda räknare. Vad blir:
a) \( \log_{10} 100\,000 \)
b) \( \lg 10\,000 \)
c) \( \log_2 8\, \)
d) \( \log_3 9\, \)
e) \( \log_5 125\, \)
f) \( \log_2 {1 \over 4} \)
Övning 3
Beräkna uttrycken nedan utan att använda räknare:
a) \( \log_4 2 + \log_9 3\, \)
b) \( \log_8 2 - \log_{16} 4\, \)
c) \( \log_6 \sqrt{6} \cdot \log_5 \sqrt{5}\, \)
Övning 4
Svara utan att använda räknare. Vad blir:
a) \( 10^{\lg 2}\, \)
b) \( 3^{\log_3 5}\, \)
c) \( \lg(10^6)\, \)
d) \( \log_3(3^8)\, \)
e) \( 10^{\lg 32}\, \)
VG-övningar: 5-6
Övning 5
Lös följande exponentialekvationer genom att skriva om baserna till 10-potenser. Använd räknaren för att få fram 10-logaritmerna. Svara med 5 decimaler:
a) \( 2^x \; = \; 33 \)
b) \( 4^x\; = \; 17 \)
c) \( 8^x = 448\, \)
Övning 6
Ett belopp på 12 000 kr sätts in på ett bankkonto med 6,5% årsränta. Inga uttag görs. Hur länge tar det exakt tills beloppet fördubblats?
a) Ställ upp en exponentialekvation. Använd som obekant antal år som behövs för att startkapitalet fördubblats.
b) Lösa exponentialekvationen så noggrannt det går. Ange svaret i antal år och avrundat antal månader.
MVG-övningar: 7-8
Övning 7
Övning 8
En termos fylls med hett kaffe. Temperaturen y avtar med tiden x enligt följande typ av funktion som kan anses vara en ansats till en matematisk modell för kaffets avsvalnande:
- \[ y = c \cdot a^x \]
där a och c är vissa konstanter som bestäms via experiment. Två experiment gav följande resultat:
Efter 4 timmar var temperaturen 76 º C. Under denna tid minskade temperaturen med 4,1 º C per timme.
a) Vilken temperatur hade kaffet när det hälldes i termosen?
b) Bestäm konstanterna a och c i ansatsen ovan och ställ upp den fullständiga matematiska modell där temperaturen y är en exponentialfunktion av tiden x.
c) Använd modellen från b) för att besvara frågan: Hur lång tid tar det tills kaffets temperatur understiger 55 º C då det inte längre anses drickbart? Approximativ lösning räcker.
