2.4 Derivatans definition

<-- Förra avsnitt

Teori

Övningar

Nästa avsnitt -->

Lektion 18 Derivatans definition

Innehåll

1 Exempel Oljetank
2 Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet
3 Från sekanten till tangenten
4 Derivatan som gränsvärde
5 Derivatan som funktion
6 Allmän definition
- 6.1 Exempel Oljetank (utvidgat)
7 Internetlänkar

Exempel Oljetank

I avsnittet Genomsnittlig förändringshastighet behandlade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \qquad\qquad\qquad {\rm vars\;graf\;ser\;ut\;så\;här:} \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

Beräkna oljans exakta dvs momentana utströmningshastighet när den är störst.

Lösning:

Grafen visar att kurvans lutning är störst i \( x = 0\, \), vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas
vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter, och därmed utövar det största trycket på hålet.

Vi ska alltså beräkna: Oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \).

För det är då utströmningshastigheten är störst, dvs det är då kurvan är brantast.

För att göra det beräknar vi först den genomsnittliga utströmningshastigheten i ett intervall och
går sedan över till den momentana genom att låta intervallängden gå mot \( 0\, \).

Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet

Den allmänna definitionen till genomsnittlig förändringshastighet är:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]

I exemplet Oljetank är \( \,x_1 = 0 \). Då har vi:

\[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \]

I denna formel sätter vi in \( f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \). Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \):

\[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 \]

I detta uttryck låter vi nu \( h\, \) gå mot \( 0\, \) för att få oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \). Dvs vi beräknar gränsvärdet:

\[ \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]

\( -\,380\, \) är oljans momentana utströmningshastighet, dvs oljan sjunker med exakt \( 380\, \) liter per minut vid tidpunkten \( x = 0 \, \).

Tidigare (Exempel 2 d) hade vi fått närmevärdet \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \), vilket nu visar sig vara ett ganska bra närmevärde. Approximationen hade varit ännu precisare om vi då hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) eller \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \) osv. Exakt blir den när vi i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \) låter \( h \to 0 \), dvs beräknar gränsvärdet ovan. Ett annat ord för den momentana utströmningshastigheten är derivatan och skrivs så här:

\( f\,'\,(0) \,=\, -\,380 \) är funktionen \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \; {\rm .} \)

\( {\color{White} x} f\,'\,(0) \;\; {\rm läses\;" } f \; {\rm prim\;av\; } 0 \; {\rm " }. \)

Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.

En geometrisk tolkning av derivatan vore tangentens lutning till kurvan \( y = f\,(x) \) i punkten \( \, x = 0 \), se grafen ovan. Vi ska nu titta närmare på den geometriska tolkningen av derivatan.

Från sekanten till tangenten

Derivatan som gränsvärde

Derivatan som funktion

Både det fysikaliska Exemplet Oljetank och den geometriska tolkningen Från sekanten till tangenten definierar derivatan lokalt som ett värde dvs ett tal.

Men hur blir det om punkten \( \, a \) på \( \, x\)-axeln inte längre är konstant utan variabel? I så fall borde man tillämpa den lokala definitionen av derivatan på varenda punkt \( \, a \) och på så sätt få en massa värden för derivatan i varenda punkt \( \, a \). Tänker man sig att alla dessa derivatvärden är tilldelade sina respektive \( \, x\)-värden, bildar denna tilldelning en ny funktion som är den ursprungliga funktionens derivata, fast inte längre som ett tal utan som ett funktionsuttryck. På så sätt har vi fått derivatan som en funktion.

Låt oss verifiera detta genom att vidareutveckla vårt sista exempel ovan \( y = f\,(x) = 5\,x^2 \). Nu ska vi inte längre beräkna \( f\,'\,(4)\) utan ställa upp den nya funktionen \( y\,' = f\,'\,(x) \) dvs funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2\):s derivata:

En annan notation för derivatan av en funktion \( y = f(x)\, \) som anknyter till \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \), är \( \displaystyle {dy \over dx} \) vilket vi dock inte kommer att använda så ofta.

Allmän definition

Slutligen kan vi sammanfatta:

\( \displaystyle f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \quad {\rm är\;funktionen } \; y = f\,(x){\rm :s \;\, {\color{Red} {derivata}}\;.} \)

\( {\color{White} x} f\,'\,(x) \;\; {\rm läses\;" } f \; {\rm prim\;av\; } x \; {\rm " }. \)

Exempel Oljetank (utvidgat)

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

Ställ upp utströmningsfunktionens derivata med hjälp av derivatans definition. Rita grafen till den nya funktionen.

Lösning:

Först ställer vi upp de uttryck som ingår i derivatans definition och förenklar dem:

\[ \begin{array}{lcl} f(x + h) & = & 4\,(x+h)^2 - 380\,(x+h) + 9\,000 = 4\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 380\,x - 380\,h + 9\,000 = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 \\ f(x + h) - f(x) & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - (4\,x^2 - 380\,x + 9\,000) = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - 4\,x^2 + 380\,x - 9\,000 \;\;\, =\\ & = & 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,h \, = \, h\,(8\,x + 4\,h - 380) \\ {f(x + h) - f(x) \over h} & = & {h\,(8\,x + 4\,h - 380) \over h} \, = \, 8\,x + 4\,h - 380 \end{array}\]

Nu sätter vi in det förenklade uttrycket ovan i derivatans definition och beräknar gränsvärdet:

\[ f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 \]

\( f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \) är derivatan till oljans utströmningsfunktion \( y = f\,(x) \).

\( f\,'\,(x) \) kan tolkas som oljans utströmningshastighetsfunktion vars graf visas till höger.

Att derivatan är en linjär funktion och dess graf en rät linje är ingen tillfällighet utan ett exempel på regeln:

Derivatan av kvadratiska funktioner är linjära.

Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande Aktivitet (Lösning, punkt 7) approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn.

I efterhand kan vi nu verifiera det i Exempel Oljetank beräknade värdet av \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \) genom att sätta in \( \, x = 0 \) i derivatans funktion \( f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \):

\[ f\,'\,(0) \,=\, 8 \cdot 0 - 380 \,=\, 0 - 380 \,=\, -\,380 \]

Vid tiden \( x = 0\, \) sjönk oljan med \( 380\, \) liter per minut som var den största utströmningshastigheten när oljan hade mest volym och utövade det största trycket på hålet.