1.2 Faktorisering av polynom

Repetition: Faktorisering & Vieta

Teori

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

<-- Förra avsnitt

Lektion 3 Faktorisering av polynom

Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning

Innehåll

1 Polynom i faktorform
- 1.1 Exempel
  - 1.1.1 Nollproduktmetoden
2 Faktorisering av 2:a gradspolynom
3 Rotens olika betydelser
4 Dubbelrot
- 4.1 Exempel
5 Internetlänkar

Polynom i faktorform

Exempel

Vi betraktar följande likhet (Exempel 1 från tidigare):

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Man inser likheten ovan genom att utveckla högerledet:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Till höger har vi ett polynom som en summa av termer. Till vänster står samma polynom som en produkt av faktorer dvs ett polynom i faktorform.

Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering av polynomet (summan). Polynomet är av grad 2, medan ingredienserna i faktorformen dvs \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är polynom av grad 1. Man kan jämföra det med faktoriseringen \( 12 = 3 \cdot 4\, \). Faktorerna 3 och 4 är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) i sina beståndsdelar \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \).

Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) till 0 och får följande ekvation:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 \]

Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal \( x\,\) för vilka polynomets värde är \( 0\,\). Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen \((x-3) \cdot (x-4) \) har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna: Det är nollproduktmetoden som vi lärde oss i Matte 2 som visar att \( 3\,\) och \( 4\,\) är lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \). Här en påminnelse:

Nollproduktmetoden

Så här resonerar nollproduktmetoden:

Vi har ekvationen:

\[ (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \]

För att produkten i vänsterledet ska vara lika med \( 0\,\) måste antingen den första faktorn \( (x-3)\, \) eller den andra faktorn \( (x-4)\, \) vara lika med \( 0\,\).

För att \( (x-3)\, \) eller \( (x-4)\, \) ska vara lika med \( 0\,\) måste \( x\, \) antingen vara lika med \( 3\,\) eller lika med \( 4\,\).

Detta i sin tur innebär att \( 3\,\) och \( 4\,\) är lösningar till ekvationen ovan.

Pga likheten mellan polynom och dess faktorform (se ovan) måste \( 3\,\) och \( 4\,\) även vara polynomets nollställen och därmed lösningar till ekvationen:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

I det här exemplet hade vi redan faktorformen och diskuterade i efterhand likheten med polynomet och dess konsekvenser. Men vad gör man om man inte än har faktorformen? Hur får man fram den?

Faktorisering av 2:a gradspolynom

Resonemanget ovan ger oss följande metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet.

Exempel: Faktorisera polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \)

Lösning: Hitta polynomets nollställen dvs ställ upp och lös 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) gäller enligt Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 12 \end{align}\]

Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är 12 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man:

\[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]

eftersom \( 3 + 4 = 7\, \) och \( 3 \cdot 4 = 12 \). Därmed är polynomets faktorisering:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = \underline{(x - 3) \cdot (x - 4)} \]

Självklart hade man kunnat använda även p-q-formeln för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här:

\[\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 4 \end{array}\]

Man ser just i det här fallet att Vieta är enklare och snabbare. Enklare aritmetik har den stora praktiska fördelen att risken för felräkning minimeras.

Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:

Sats (Faktorisering med 2 nollställen):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in p-q-formeln för \( x_1\, \) och \( x_2\, \), utveckla produkten på högerledet och genomföra jämförelse av koefficienter, se övn. 13.

Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se Algebrans fundamentalsats.

Rotens olika betydelser

Ordet rot har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:

Räkneoperationen rotdragning med rottecknet \( {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} \) som symbol, t.ex. roten ur \( 4\, \) är \( 2\, \) osv.

Lösningen av en ekvation. I ekvationssammanhang är rot synonym till en ekvations lösning. T.ex. är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 = 4\, \).

Nollstället till ett polynom. I polynomsammanhang är rot synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs nollställen till polynomet \( x^2 - 4\, \).

Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.

Dubbelrot

När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.

Sats (Faktorisering med 1 nollställe):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) endast har ett nollställe \( x_1\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 \]

Ett sådant nollställe kallas för dubbelrot till ekvationen \( x^2 + p\,x + q = 0 \).

Exempel

Polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) har dubbelroten \( x = 3\, \) eftersom ekvationen \( x^2 - 6\,x + 9 = 0 \) har endast lösningen \( x = 3\, \), se Exempel 3 från repetitionen om Vieta.

Dubbelrötter har vissa intressanta egenskaper. En av dem kan vi se när vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt dubbelroten "skär" \( \, x\)-axeln.

Grafen till polynomfunktionen \( {\color{White} x} y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad \)

Grafen visar att kurvan inte skär utan bara berör \(\,x\)-axeln vid \( x = 3\, \). Dvs det finns endast en gemensam punkt mellan kurvan och \(\,x\)-axeln. Det är en av de typiska egenskaperna hos dubbelrötter. De ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära \(\,x\)-axeln (ingen lösning alls). Matematiskt uttrycker sig denna egenskap i faktoriseringens form:

\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)^2 \]

Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har en lösning \( x = 3\, \) till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0\, \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.

Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.