Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"

Versionen från 10 november 2014 kl. 16.18

Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner

Derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \)

Det kan vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen \( e\, \) (Eulers tal) från kapitel 1. Vi behöver nämligen i detta avsnitt att härleda derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) med basen \( e\, \) för att sedan kunna med hjälp av den ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \).

För att kunna göra det gör vi först ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för \( y = a\,^x \). Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel \(-\) den enklaste möjliga, nämligen derivatan = funktionen \(-\) och frågar efter en bas som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:

Svaret är: Ja, om och endast om \( {\color{White} x} a \, = \, e \)   . Detta är möjligt eftersom vi har friheten att välja en bas.

Frågeställningen har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \) som vi använde i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till? På 1700-talet bevisade Euler att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Eulers formel kan vi nu \(-\) efter att ha behandlat limesbegreppet \(-\) formulera så här:

\[ \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots \]

Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel.

Misslyckat försök med derivatans definition

Tangenten till \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \)

Vi antar att det finns en bas \( \,e \) \(-\) som än så länge är okänd \(-\) så att:

\[\begin{array}{lclcl} y & = & f\,(x) & = & e\,^x \\ y\,' & = & f\,'\,(x) & = & e\,^x \end{array}\]

Ekvationen för tangenten till kurvan \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \) har \(\,k\)-formen    \( y \, = \, k\,x \, + \, m \) .

För att bestämma \( \, k \) konstaterar vi att tangenten till kurvan    \( y = e\,^x \)    i    \( \,x = 0 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt, nämligen \( f\,'(0) \). Därför:

\[ k \, = \, f\,'(0) \, = \, e\,^0\, = \, 1 \]

Således blir tangentens ekvation    \( y \, = \, x \, + \, m \) .

För att bestämma \( \, m \) sätter vi in beröringspunktens koordinater

\[ x = 0 \]

\[ y = f(0) = e\,^0 = 1 \]

i tangentens ekvation och beräknar \( \, m \):

\[\begin{array}{rcl} y & = & x \, + \, m \\ 1 & = & 0 \, + \, m \\ 1 & = & m \end{array}\]

Då blir tangentens ekvation:

\[ y \, = \, x \, + \, 1 \]

Eulers bevis

På denna tangent konstruerar vi en punktföljd    \( P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots \)    vars \( \,x\)-koordinater bildar talföljden

\[ 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \qquad {\rm med\;den\;allmänna \;termen} \qquad x_n \, = \, {1 \over n} \qquad \mbox{där} \;\; n = 1,\,2,\,3,\,\cdots \]

Se även tabellen i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?

Vi har fått följande resultat:

Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)

Derivatan av den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \)

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):

Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för exponentialfunktionen med basen \( e\, \).

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt. I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( a\; x \)	\( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \)	\( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( C\cdot e\,^{k\,x} \)	\( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( C\cdot a\,^{k\,x} \)	\( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler, speciellt regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.