Skillnad mellan versioner av "2.4 Derivatans definition"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 62: | Rad 62: | ||
I [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel 2 d</span></strong>]] hade vi fått närmevärdet <math> -\,379,6\, </math> för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 </math>, vilket var en ganska bra approximation för den momentana utströmningshastigheten. Den hade varit ännu bättre om vi hade valt t.ex. intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 </math> osv. Exakt blir den när vi väljer intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math> och låter <math> h \to 0 </math>. | I [[2.2_Genomsnittlig_förändringshastighet#Exempel_2_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel 2 d</span></strong>]] hade vi fått närmevärdet <math> -\,379,6\, </math> för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 </math>, vilket var en ganska bra approximation för den momentana utströmningshastigheten. Den hade varit ännu bättre om vi hade valt t.ex. intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 </math> osv. Exakt blir den när vi väljer intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math> och låter <math> h \to 0 </math>. | ||
| + | |||
<div class="border-div"> | <div class="border-div"> | ||
| − | <big><math> -\,380 </math> kallas funktionen <math> f\,(x)</math>:s <strong><span style="color:red">derivata</span></strong> i punktrn <math> \, x = 0 </math> och betecknas med <math> f\,'\,(0)</math> som läses <math> {\rm " } f \; {\rm prim\;av\; } 0 \; {\rm " }.</math</big> | + | <big><math> -\,380 </math> kallas funktionen <math> f\,(x)</math>:s <strong><span style="color:red">derivata</span></strong> i punktrn <math> \, x = 0 </math> och betecknas med <math> f\,'\,(0)</math> som läses <math> {\rm " } f \; {\rm prim\;av\; } 0 \; {\rm " }.</math></big> |
</div> | </div> | ||
Versionen från 2 oktober 2014 kl. 13.23
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 13 Derivatans definition
Innehåll
Exempel Oljetank
| I avsnittet Genomsnittlig förändringshastighet behandlade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
Beräkna oljans exakta dvs momentana utströmningshastighet när den är störst. Lösning: Grafen visar att kurvans lutning är störst i \( x = 0\, \), vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter, och därmed trycket på hålet är störst. Vi ska alltså beräkna:
Det ska vi nu göra genom att gå över från genomsnittlig (Exempel 2 d) till momentan förändringshastighet. |
 |
Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet
Den allmänna definitionen till genomsnittlig förändringshastighet är:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]
Vi sätter in i definitionen ovan \( \, x_1 = 0 \) och använder \( f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \). Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \):
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 \]
För att få oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \) låter vi \( h\, \) i uttrycket ovan gå mot \( 0\, \) dvs vi beräknar gränsvärdet:
- \[ \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]
Vid tidpunkten \( x = 0 \, \) sjunker oljans volym med exakt \( 380\, \) liter per minut.
I Exempel 2 d hade vi fått närmevärdet \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \), vilket var en ganska bra approximation för den momentana utströmningshastigheten. Den hade varit ännu bättre om vi hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) osv. Exakt blir den när vi väljer intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \) och låter \( h \to 0 \).
\( -\,380 \) kallas funktionen \( f\,(x)\):s derivata i punktrn \( \, x = 0 \) och betecknas med \( f\,'\,(0)\) som läses \( {\rm " } f \; {\rm prim\;av\; } 0 \; {\rm " }.\)
Från sekanten till tangenten
Derivatan som gränsvärde
Derivatan som funktion
En annan notation för derivatan av en funktion \( y = f(x)\, \) som anknyter till \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \), är \( \displaystyle {dy \over dx} \) vilket vi dock inte kommer att använda så ofta.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0
http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk
http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related
http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm
http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
