Skillnad mellan versioner av "2.4 Derivatans definition"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| Rad 24: | Rad 24: | ||
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen: | En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen: | ||
| − | :::<math> y \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \qquad\qquad\qquad | + | :::<math> y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \qquad\qquad\qquad {\rm vars\;graf\;ser\;ut\;så\;här:} </math> |
där <math> {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math> | där <math> {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} </math> | ||
| Rad 33: | Rad 33: | ||
'''Lösning''': | '''Lösning''': | ||
| − | Grafen visar att kurvans lutning är störst i <math> x = 0\, </math>, vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym | + | Grafen visar att kurvans lutning är störst i <math> x = 0\, </math>, vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas vid tiden <math> x = 0\, </math> när oljan har mest volym, nämligen <math> 9\,000 </math> liter, och därmed trycket på hålet är störst. Vi ska alltså beräkna: |
::::::<big> Oljans <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastighet i <math> x = 0\, </math>.</big> | ::::::<big> Oljans <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastighet i <math> x = 0\, </math>.</big> | ||
Versionen från 2 oktober 2014 kl. 11.18
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 13 Derivatans definition
Innehåll
Exempel Oljetank
| I avsnittet Genomsnittlig förändringshastighet betraktade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
Beräkna oljans exakta dvs momentana utströmningshastighet när den är störst. Lösning: Grafen visar att kurvans lutning är störst i \( x = 0\, \), vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas vid tiden \( x = 0\, \) när oljan har mest volym, nämligen \( 9\,000 \) liter, och därmed trycket på hålet är störst. Vi ska alltså beräkna:
Det ska vi nu göra genom att gå över från genomsnittlig (Exempel 2 d) till momentan förändringshastighet. |
 |
Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet
Den allmänna definitionen till genomsnittlig förändringshastighet är:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]
Vi beräknar först oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \). Därför sätter vi in i definitionen ovan \( \, x_1 = 0 \):
- \[ {\Delta y \over \Delta x} = {f(h) \, - \, f(0) \over h} = {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \]
Från sekanten till tangenten
Derivatan som gränsvärde
Derivatan som funktion
En annan notation för derivatan av en funktion \( y = f(x)\, \) som anknyter till \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \), är \( \displaystyle {dy \over dx} \) vilket vi dock inte kommer att använda så ofta.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0
http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk
http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related
http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm
http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
