Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"

Versionen från 24 november 2014 kl. 11.52

Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner

Derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \)

Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \) genom att härleda derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) med basen \( e\, \). Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen \( e\, \) (Eulers tal) från kapitel 1.

Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för \( y = a\,^x \). Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel \(-\) den enklaste möjliga, nämligen derivatan = funktionen \(-\) och frågar efter en bas som gör att denna deriveringsregel gäller. Frågeställningen lyder:

Svaret är: Ja, om och endast om \( {\color{White} x} a \, = \, e \)   . Detta är möjligt eftersom vi har friheten att välja en bas.

Frågeställningen har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \) som vi använde i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till? På 1700-talet bevisade Euler att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Eulers formel kan vi nu \(-\) efter att ha behandlat limesbegreppet \(-\) formulera så här:

\[ \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots \]

Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel.

Misslyckat försök med derivatans definition

Derivatan av \( \, y = e\,^x \) med \( \,e = \) Eulers tal

Vi antar att det finns en bas \( \,e \) \(-\) som än så länge är okänd \(-\) så att:

\[\begin{array}{lclcl} y & = & f\,(x) & = & e\,^x \\ y\,' & = & f\,'\,(x) & = & e\,^x \end{array}\]

Tangenten till \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \):

Ekvationen för tangenten till kurvan \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \) har \(\,k\)-formen    \( y \, = \, k\,x \, + \, m \) .

För att bestämma \( \, k \) konstaterar vi att tangenten till kurvan    \( y = e\,^x \)    i    \( \,x = 0 \)    har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt, nämligen \( f\,'(0) \). Därför:

\[ k \, = \, f\,'(0) \, = \, e\,^0\, = \, 1 \]

Således blir tangentens ekvation    \( y \, = \, x \, + \, m \) .

För att bestämma \( \, m \) sätter vi in beröringspunktens koordinater

\[ x = 0 \]

\[ y = f(0) = e\,^0 = 1 \]

i tangentens ekvation och beräknar \( \, m \):

\[\begin{array}{rcl} y & = & x \, + \, m \\ 1 & = & 0 \, + \, m \\ 1 & = & m \end{array}\]

Då blir tangentens ekvation:

\[ y \, = \, x \, + \, 1 \]

Eulers bevis

På denna tangent konstruerar vi en punktföljd    \( P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots \)    vars \( \,x\)-koordinater bildar talföljden

\[ 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \qquad {\rm med\;den\;allmänna \;termen} \qquad x_n \, = \, {1 \over n} \qquad \mbox{där} \;\; n = 1,\,2,\,3,\,\cdots \]

Se även tabellen i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?

Vi har fått följande resultat:

Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)

Deriveringsregeln för \( y = a\,^x \)

Från att ha ställt upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):

Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för exponentialfunktionen med basen \( e\, \).

Deriveringsregeln för \( y = C\,a\,^{k\,x} \)

Uppdaterad tabell över deriveringsregler

Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt. I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:

\( y\, \)	\( y\,' \)
\( c\, \)	\( 0\, \)
\( x\, \)	\( 1\, \)
\( a\; x \)	\( a\, \)
\( k\; x \, + \, m \)	\( k\, \)
\( x^2\, \)	\( 2\,x \)
\( a\,x^2 \)	\( 2\,a\,x \)
\( x^n\, \)	\( n\cdot x\,^{n-1} \)
\( a\,x\,^n \)	\( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \)
\( \displaystyle {1 \over x} \)	\( \displaystyle - {1 \over x^2} \)
\( \sqrt{x} \)	\( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \)
\( e\,^x \)	\( e\,^x \)
\( e\,^{k\,x} \)	\( k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( C\cdot e\,^{k\,x} \)	\( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \)
\( a\,^x \)	\( a\,^x \cdot \ln a \)
\( C\cdot a\,^{k\,x} \)	\( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \)
\( f(x) + g(x)\, \)	\( f\,'(x) + g\,'(x) \)
\( a\cdot f(x) \)	\( a\cdot f\,'(x) \)

De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler, speciellt regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.