Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = 6\,x \]

a) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 1 \leq x \,\leq\, 5 \).

b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 2 \leq x \,\leq\, 4 \).

c) Ställ upp ett uttryck för \( f(3+h)\, \) genom att sätta in \( 3+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 6\,x \).

d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(3) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 3\, \).

e) Jämför resultaten i a), b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.

Ett äpple faller från ett träd. Rörelsen beskrivs av funktionen

\[ y = f(x) = 5\;x^2 \]

där \( {\color{White} x} \quad \!\! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;sekunder} \)

\[ y \, = \, {\rm Sträckan\;som\;äpplet\;faller\;i\;meter} \]

a) Ställ upp ett uttryck för \( f(1+h)\, \) genom att sätta in \( 1+h\, \) för \( x\,\) i funktionen \( f(x) = 5\,x^2 \).

b) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \). Tolka resultatet.

Sveriges befolkning växte mellan åren 1900 och 2000 ca. enligt modellen

\[ y \, = \, 0,04\;x \, + \, 5 \]

där \( {\color{White} x} \quad \!\! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;antal\;år\;efter\;1900\;(början)} \)

\[ y \, = \, {\rm Sveriges\;befolkning\;i\;miljoner} \]

a) Med hur många människor per år växte Sveriges befolkning år 1910 (slutet)?

b) Svara utan att räkna: Med hur många människor per år växer Sveriges befolkning idag om modellen ovan fortfarande gällde?

Följande funktion är given:

\[ y = f(x) = 4\, \]

Dvs funktionens värde för alla \( x\, \) är \( 4\, \).

a) Rita grafen till funktionen.

b) Beräkna funktionens genomsnittliga förändringshastighet i intervallet \( 0 \leq x \,\leq\, 2 \).

c) Vad blir \( f(1+h)\, \) ?

d) Beräkna med hjälp av derivatans definition \( f\,'(1) \) dvs funktionens exakta derivata i punkten \( x = 1\, \).

e) Jämför resultaten i b) och d). Vilka slutsatser kan man dra? Motivera ditt svar.

I Exempel Oljetank betraktade vi följande problem:

En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:

\[ y \, = \, f(x) = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]

där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)

\[ y \, = \, {\rm Oljans\;volym\;i\;liter} \]

a) Beräkna med hjälp av derivatans definition oljans utströmningshastighet vid tiden \( x = 25\, \).

b) Efter hur många minuter läcker oljan med \( 300\, \) liter per minut?

     Använd utströmningsfunktionens derivata som funktion från Exempel Oljetank (utvidgat).

a) Beräkna med hjälp av derivatans definition derivatan till parabeln

\[ y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, -3 \]

b) Ställ upp ekvationen för tangenten till parabeln i samma punkt.

c) Rita grafen till både parabeln och tangenten i samma koordinatsystem.

Bestäm med derivatans definition derivatan till funktionen

\[ y \, = \, f(x) = \, x^2 \quad {\rm i\;punkten} \quad x \, = \, a \]

Förenkla uttrycket i \( a\, \) så långt som möjligt.

Följande funktion är given:

\[ y \, = \, f(x) = \, 3\,x^2 - 2\,x - 4 \]

a) Beräkna med derivatans definition funktionens derivata i punkten \( x = 1\, \). Tolka resultatet geometriskt.

b) Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan \( y = f(x)\, \) i samma punkt.

c) Rita funktionens och tangentens graf i samma koordinatsystem.