Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"
Taifun (Diskussion | bidrag) m (→Addition & subtraktion av rationella uttryck) |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (313 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | | ||
| − | {{Not selected tab|[[Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition Bråkräkning]]}} | + | {{Not selected tab|[[1.3 Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition: Bråkräkning]]}} |
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Teori]]}} | {{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Teori]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}} | {{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}} | ||
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}} | {{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}} | ||
| − | {{Not selected tab|[[1. | + | {{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt -->]]}} |
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| | ||
|} | |} | ||
| + | [[1.2 Faktorisering av polynom|<span style="color:blue"><-- Förra avsnitt</span>]] | ||
| + | [[Media: Lektion 5 Rationella uttryck Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 5 Rationella uttryck</span></strong>]] | ||
| − | [[Media: Lektion | + | [[Media: Lektion 6 Rationella uttryckFb Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck: Fördjupning</span></strong>]] |
__TOC__ | __TOC__ | ||
| + | |||
== Vad är ett rationellt uttryck? == | == Vad är ett rationellt uttryck? == | ||
| Rad 23: | Rad 26: | ||
:::::::::<math> 3 \over 4 </math> | :::::::::<math> 3 \over 4 </math> | ||
| − | Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> 0\, </math>, t.ex. <math> 3 \over 0 </math> är inte definierad, se [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?</span></strong>]]. | + | Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> 0\, </math>, t.ex. <big><big><math> 3 \over 0 </math></big></big> är inte definierad, se [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?</span></strong>]]. |
| − | Ett <strong><span style="color:red">rationellt uttryck</span></strong> är kvoten mellan två [[1.2 Polynom|polynom]], t.ex.: | + | Ett <strong><span style="color:red">rationellt uttryck</span></strong> är kvoten mellan två [[1.2 Polynom|<strong><span style="color:blue">polynom</span></strong>]], t.ex.: |
::::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math> | ::::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math> | ||
| Rad 33: | Rad 36: | ||
Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>. | Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>. | ||
| − | Uttryckets <strong><span style="color:red">definitionsmängd</span></strong> är: | + | Uttryckets <strong><span style="color:red">definitionsmängd</span></strong>, dvs alla <math> x\, </math> för vilka uttrycket är definierad, är: |
| − | + | ::<math> {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math> | |
| + | |||
| + | Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, t.ex. när vi räknar med rationella uttryck: | ||
| − | |||
== Addition & subtraktion av rationella uttryck == | == Addition & subtraktion av rationella uttryck == | ||
| − | Analogin | + | Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan. |
| + | Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför: | ||
| − | + | ::::::<Big><strong>Repetera [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1.</strong></Big> | |
| − | Vi | + | Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck: |
| + | |||
=== Exempel 1 === | === Exempel 1 === | ||
| − | Förenkla | + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt. |
| − | <math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 2\,x \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} 2\,x} \over 3\,x \cdot {\color{Red} 2\,x}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} </math> | + | :::::::<math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} </math> |
=== Exempel 2 === | === Exempel 2 === | ||
| − | Förenkla | + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt. |
| − | <math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} 2\,x^2} \over 12\,x \cdot {\color{Red} 2\,x^2}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} 3\,x} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} 3\,x}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math> | + | :::::::<math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math> |
| + | |||
| + | |||
| + | === Hjälpsats === | ||
| + | |||
| + | ::::::<big><math> a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big> | ||
| + | |||
| + | Bevis: <big><math> {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big> | ||
| + | |||
| + | Annan formulering: <big><math> {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) </math></big> | ||
=== Exempel 3 === | === Exempel 3 === | ||
| − | Förenkla | + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt. |
| − | <math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math> | + | :::::::<math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math> |
| − | === | + | === <span style="color:blue">Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln</span> === |
| + | ---- | ||
| + | |||
| + | ::<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \\ | ||
| + | {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ | ||
| + | {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 | ||
| + | \end{align}</math> | ||
| − | + | ---- | |
| + | I exemplen som följer används dessa regler flitigt. | ||
| − | |||
| + | === Exempel 4 === | ||
| − | <math> | + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt. |
| + | Redan i första steget används [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">konjugatregeln (baklänges)</span></strong>]] för att faktorisera den första termens nämnare: | ||
| − | <math> | + | :<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math> |
| + | :<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math> | ||
| + | |||
| + | :<math> = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = </math> | ||
| + | |||
| + | :<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math> | ||
| − | |||
== Multiplikation & division av rationella uttryck == | == Multiplikation & division av rationella uttryck == | ||
| + | |||
| + | Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Exempel 1 === | ||
| + | |||
| + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} </math></big></big> | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Exempel 2 === | ||
| + | |||
| + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} </math></big></big> | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Exempel 3 === | ||
| + | |||
| + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt. | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 </math> | ||
| + | |||
| + | Varför är det <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att göra så här? | ||
| + | |||
| + | :<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} </math> | ||
| + | |||
| + | Det är fel att förkorta uttrycket <big><math> {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} </math></big> med <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} </math> därför att <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} </math> är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas. | ||
| + | |||
| + | <strong><span style="color:red">Förklaring</span></strong>: | ||
| + | |||
| + | Låt oss anta <math> x = 1\, </math>. Felaktig förkortning ger <big><big><math> {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math></big></big> <math> = 18 </math> medan rätt svar är <big><big><math> {6+18 \over 6} = {24 \over 6} </math></big></big> <math> = 4 \neq 18 </math>. | ||
| + | |||
| + | Därav följer nödvändigheten att bryta ut <math> {\color{Red} 6} </math> i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta: | ||
| + | |||
| + | :::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math> | ||
| + | |||
| + | Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Exempel 4 === | ||
| + | |||
| + | |||
| + | [[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]] | ||
| + | |||
| + | I första steget (likhetstecknet) ovan har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln (baklänges)</span></strong>]] använts: | ||
| + | |||
| + | :::<math> x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 </math> | ||
| + | |||
| + | Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>. | ||
| + | |||
| + | |||
| + | === Exempel 5 === | ||
| + | |||
| + | Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt: | ||
| + | |||
| + | :<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math> | ||
| + | |||
| + | :<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math> | ||
| + | |||
| + | :<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | == Internetlänkar == | ||
| + | |||
| + | http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html | ||
| + | |||
| + | http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx | ||
| + | |||
| + | http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel | ||
| + | |||
| + | http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related | ||
Nuvarande version från 15 oktober 2014 kl. 11.12
| Repetition: Bråkräkning | Teori | Övningar | Fördjupning | Nästa avsnitt --> |
Lektion 6 Rationella uttryck: Fördjupning
Innehåll
Vad är ett rationellt uttryck?
Ett heltal är ett tal ur mängden \( \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.
Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:
- \[ 3 \over 4 \]
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \), t.ex. \( 3 \over 0 \) är inte definierad, se Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?.
Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex.:
- \[ 6\,x \over x^2 - 1 \]
Nämnaren \( x^2 - 1\, \) får inte vara \( 0\, \). Detta innebär att \( x\, \) varken får vara \( 1\, \) eller \( -1\, \), för då blir polynomet \( x^2 - 1\, \):s värde \( 0\, \) och därmed inte definierat.
Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla \( x\, \) utom för \( x = 1\, \) och \( x = -1\, \).
Uttryckets definitionsmängd, dvs alla \( x\, \) för vilka uttrycket är definierad, är:
- \[ {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \]
Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, t.ex. när vi räknar med rationella uttryck:
Addition & subtraktion av rationella uttryck
Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.
Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:
- Repetera bråkräkning från Matte 1.
Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:
Exempel 1
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.
- \[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \]
Exempel 2
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.
- \[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]
Hjälpsats
- \( a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) \)
Bevis: \( {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)
Annan formulering: \( {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) \)
Exempel 3
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.
- \[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]
Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln
- \[\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\]
I exemplen som följer används dessa regler flitigt.
Exempel 4
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.
Redan i första steget används konjugatregeln (baklänges) för att faktorisera den första termens nämnare:
\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]
\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]
\[ = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \]
\[ = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]
Multiplikation & division av rationella uttryck
Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
Exempel 1
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \)
- \[ {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]
Exempel 2
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \)
- \[ {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]
Exempel 3
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.
- \[ {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 \]
Varför är det fel att göra så här?
\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} \]
Det är fel att förkorta uttrycket \( {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} \) med \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} \) därför att \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} \) är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.
Förklaring:
Låt oss anta \( x = 1\, \). Felaktig förkortning ger \( {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \) medan rätt svar är \( {6+18 \over 6} = {24 \over 6} \) \( = 4 \neq 18 \).
Därav följer nödvändigheten att bryta ut \( {\color{Red} 6} \) i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:
- \[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]
Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.
Exempel 4
I första steget (likhetstecknet) ovan har den 2:a kvadreringsregeln (baklänges) använts:
- \[ x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \]
Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).
Exempel 5
Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} \) så långt som möjligt:
\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]
\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]
\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]
Internetlänkar
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
