Skillnad mellan versioner av "1.2 Faktorisering av polynom"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m
m
 
(238 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.3 Faktorisering av polynom|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.2 Repetition Faktorisering & Vieta från Matte 2|Repetition: Faktorisering & Vieta]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[1.2 Faktorisering av polynom|Teori]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Övningar till Faktorisering av polynom|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
 +
[[1.1 Polynom|<span style="color:blue"><-- Förra avsnitt</span>]]
  
  
−
[[Media: Lektion 5 Faktorisering av polynom.pdf|Lektion 5 Faktorisering av polynom I]]
+
[[Media: Lektion_3_Faktorisering_av_polynom_Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 3 Faktorisering av polynom</span></strong>]]
 +
 
 +
[[Media: Lektion_4_Faktorisering_av_polynomFa_Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning</span></strong>]]
 +
 
 +
__TOC__
  
−
[[Media: Lektion 6 Faktorisering av polynom2.pdf|Lektion 6 Faktorisering av polynom II]]
 
  
 
== Polynom i faktorform ==
 
== Polynom i faktorform ==
  
−
Du kommer väl ihåg att
+
=== Exempel ===
  
−
:::::::::::::::<math> a \cdot b </math>
+
Vi betraktar följande likhet ([[Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Exempel_1|<strong><span style="color:blue">Exempel 1</span></strong>]] från tidigare): 
  
−
är en <span style="color:red">produkt</span> vars ingredienser <math>a</math> och <math>b</math> kallas <span style="color:red">faktorer</span>. Så länge <math>a</math> och <math>b</math> är variabler dvs platshållare för tal är uttrycket ovan en faktorform för tal.
+
::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math>
  
−
T.ex. är produkten <math> 3 \cdot 4 </math> en faktorform för eller en <span style="color:red">faktorisering</span> av talet 12:
+
Man inser likheten ovan genom att utveckla högerledet:  
  
−
::::::::::::::<math> 12 \, = \, 3 \cdot 4 </math>
+
:::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
  
−
Analog till faktorisering av heltal kan även polynom faktoriseras.
+
Till höger har vi ett polynom som en summa av termer. Till vänster står samma polynom som en produkt av faktorer dvs ett <strong><span style="color:red">polynom i faktorform</span></strong>.  
  
−
Faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
+
Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering av polynomet (summan). Polynomet är av grad 2, medan ingredienserna i faktorformen dvs <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math> är polynom av grad 1. Man kan jämföra det med faktoriseringen <math> 12 = 3 \cdot 4\, </math>. Faktorerna 3 och 4 är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> i sina beståndsdelar <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math>.
  
−
::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) </math>
+
Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets [[1.1_Polynom#Ett_polynoms_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">nollställen</span></strong>]]. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> till 0 och får följande ekvation:
  
−
Till vänster om likhetstecknet har vi ett polynom som en summa av termer. Till höger står samma polynom som en produkt av faktorer dvs i faktorform. Detta <span style="color:red">polynom i faktorform</span> är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math> är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> i sina beståndsdelar <math> (x-3)\, </math> och <math> (x-4)\, </math>.
+
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>
  
−
Matematiskt inser man likheten ovan genom att utveckla högerledet:  
+
Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal <math> x\,</math> för vilka polynomets värde är <math> 0\,</math>. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen <math>(x-3) \cdot (x-4) </math> har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna: Det är nollproduktmetoden som vi lärde oss i Matte 2 som visar att <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> är lösningar till ekvationen <math> (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>. Här en påminnelse:
  
−
:::::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
+
==== Nollproduktmetoden ====
  
−
Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. Du kommer väl ihåg att sådana x för vilka polynomets värde är 0, kallas för polynomets <span style="color:red">nollställen</span>. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> till 0 och får följande ekvation:
+
Så här resonerar nollproduktmetoden:
  
−
::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 </math>
+
* Vi har ekvationen:
 +
 
 +
::::::<math> (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 </math>
 +
 
 +
* För att produkten i vänsterledet ska vara lika med <math> 0\,</math> måste antingen den första faktorn <math> (x-3)\, </math> eller den andra faktorn <math> (x-4)\, </math> vara lika med <math> 0\,</math>.
 +
 
 +
* För att <math> (x-3)\, </math> eller <math> (x-4)\, </math> ska vara lika med <math> 0\,</math> måste <math> x\, </math> antingen vara lika med <math> 3\,</math> eller lika med <math> 4\,</math>.
 +
 
 +
* Detta i sin tur innebär att <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> är lösningar till ekvationen ovan.
 +
 
 +
Pga likheten mellan polynom och dess faktorform (se ovan) måste <math> 3\,</math> och <math> 4\,</math> även vara polynomets nollställen och därmed lösningar till ekvationen:
 +
 
 +
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math>
 +
 
 +
I det här exemplet hade vi redan faktorformen och diskuterade i efterhand likheten med polynomet och dess konsekvenser. Men vad gör man om man inte än har faktorformen? Hur får man fram den?
  
−
Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal x för vilka polynomets värde är 0. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen <math>(x-3) (x-4) </math> har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna. Det är <span style="color:red">nollproduktmetoden</span> som gör detta möjligt. Den visar nämligen att 3 och 4 är lösningar till ekvationen <math> (x-3) (x-4) = 0 </math>: För att produkten <math> (x-3) (x-4) </math> ska vara lika med 0 måste antingen den första faktorn <math> (x-3) </math> eller den andra faktorn <math> (x-4) </math> vara lika med 0. För att <math> (x-3) </math> eller <math> (x-4) </math> ska vara lika med 0 måste <math> x </math> antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen <math> (x-3) (x-4) = 0 </math>. Å andra sidan måste pga likheten mellan polynom och dess faktorform 3 och 4 även vara polynomets nollställen dvs lösningar till ekvationen ovan. Men vad gör man om man inte än har faktorformen?
 
  
 
== Faktorisering av 2:a gradspolynom ==
 
== Faktorisering av 2:a gradspolynom ==
  
−
Resonemanget ovan ger oss nu en metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet. För att faktorisera polynomet<math> x^2 - 7\,x + 12 </math> behöver vi bara beräkna dess nollställen, säg <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>, och sedan skriva upp faktorformen <math>(x-x_1)\cdot (x-x_2) </math>. Låt oss genomföra det i vårt exempel:
+
Resonemanget ovan ger oss följande metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet.
  
−
::::::::::<math>\begin{align} x^2 - 7\,x + 12 & = 0                          \\
+
<b>Exempel:</b> Faktorisera polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math>
−
                                      x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12}  \\
+
−
                                      x_{1,2} & = 3,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
+
−
                                      x_{1,2} & = 3,5 \pm 0,5                \\
+
−
                                      x_1    & = 4                          \\
+
−
                                      x_2    & = 3                          \\
+
−
          \end{align}</math>
+
  
−
Därför har polynomet <math> x^2 - 7\,x + 12 </math> faktorformen <math> (x-3) \cdot (x-4) </math>. Vi kommer att lära oss en effektivare metod för lösning av 2:a gradsekvationer och därmed för faktorisering av 2:gradspolynom, när vi lärt oss ett enkelt samband mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen (Vietas formler).
+
<b>Lösning:</b> Hitta polynomets nollställen dvs ställ upp och lös 2:a gradsekvationen:
  
−
Det som vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:
+
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math>
  
−
'''Sats (Faktorisering med 2 nollställen)''':
+
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> gäller enligt [[Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Vietas_formler_-_samband_mellan_koefficienter_och_nollst.C3.A4llen|<strong><span style="color:blue">Vietas formler</span></strong>]]:
−
::::<big>Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:</big>
+
  
−
:::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
+
::::::<math> \begin{align} x_1  +   x_2 & = -(-7) = 7  \\
 +
                          x_1 \cdot x_2 & = 12
 +
            \end{align}</math>
  
−
För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in 2:a gradsekvationens lösningsformel (pq-formeln) för <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> och utveckla produkten på högerledet. En jämförelse av koefficienter kommer att resultera i likhet med vänsterledet. Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2 som vi inte behandlar här.
+
Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är 12 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man:
  
−
Istället ska vi undersöka ett enkelt, men intressant samband mellan 2:a gradspolynomets koefficienter <math> p\, </math> och <math> q\, </math> och dess nollställen <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>, vilket ger dig möjligheten att roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp den 2:a gradsekvation vars lösningar just är 3 och 4.
+
::::::<math>\begin{align}  x_1 & = 3  \\
 +
                          x_2 & = 4
 +
              \end{align}</math>
  
−
== Samband mellan koefficienter och nollställen (Vietas formler) ==
+
eftersom <math> 3 + 4 = 7\, </math> och <math> 3 \cdot 4 = 12 </math>. Därmed är polynomets faktorisering:
  
−
Vi åter anknyter till exemplet som vi behandlade inledningsvis (Polynom i faktorform) genom att utveckla produkten:
+
::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = \underline{(x - 3) \cdot (x - 4)} </math>
  
−
::::<math> (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 </math>
 
  
−
Att vi i mellanräkningen, till synes onödigt, skriver <math> x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 </math> beror på att vi vill förtydliga sambandet mellan polynomets koefficienter -7 och 12 å ena sidan och dess nollställen 3 och 4 å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av nollställena 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till nollställena 3 och 4. Dvs vi har följande samband mellan polynomets koefficienter och dess nollställen:
+
Självklart hade man kunnat använda även p-q-formeln för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här:
  
−
:::::::::::<math> 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 </math>
+
::::::<math>\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0                          \\
 +
                                      x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\
 +
                                      x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25}        \\
 +
                                      x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5                \\
 +
                                      x_1    & = & 3                          \\
 +
                                      x_2    & = & 4                         
 +
            \end{array}</math>
  
−
Detta ger oss ett verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter. Du skulle kunna roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen
+
Man ser just i det här fallet att Vieta är enklare och snabbare. Enklare aritmetik har den stora praktiska fördelen att risken för felräkning minimeras.  
  
−
:::::::::::::<math> x^2 - 7\,x + 12 = 0 </math>
+
Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:
−
+
−
Sedan kan du låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av följande generell matematisk sats:
+
  
−
'''Sats (Vietas formler)''':
 
−
::::<big>Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:</big>
 
  
−
:::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
+
----
 +
'''Sats (Faktorisering med 2 nollställen)''':
 +
::<big>Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> har nollställena <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math> så gäller:
  
−
'''Bevis''':
+
:::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
 +
</big>
 +
För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in p-q-formeln för <math> x_1\, </math> och <math> x_2\, </math>, utveckla produkten på högerledet och genomföra jämförelse av koefficienter, se [[1.2_Övningar_till_Faktorisering_av_polynom#.C3.96vning_13|<strong><span style="color:blue">övn. 13</span></strong>]].
  
−
Genom att använda satsen som vi formulerade i slutet av förra paragrafen (Faktorisering med 2 nollställen) kan vi skriva:
+
Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se  [[1.2_Fördjupning_till_Faktorisering_av_Polynom#Algebrans_fundamentalsats|<strong><span style="color:blue">Algebrans fundamentalsats</span></strong>]].
 +
----
  
−
::::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) </math>
 
  
−
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
+
== Rotens olika betydelser ==
  
−
::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - x_2\,x - x_1\,x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math>
+
Ordet <b>rot</b> har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:
  
−
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet <math> x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 </math> (högerled) och polynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> (vänsterled) ger:
+
* Räkneoperationen rotdragning med rottecknet <math> {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} </math> som symbol, t.ex. roten ur <math> 4\, </math> är <math> 2\, </math> osv.
  
−
:::::::::<math> x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q </math>
+
* Lösningen av en ekvation. I ekvationssammanhang är rot synonym till en ekvations lösning. T.ex. är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs lösningar till ekvationen <math> x^2 = 4\, </math>.
  
−
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
+
* Nollstället till ett polynom. I polynomsammanhang är rot synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är <math> x_1 = 2\, </math> och <math> x_2 = -2\, </math> rötter dvs nollställen till polynomet <math> x^2 - 4\, </math>.
  
−
Denna sats kan generaliseras ytterligare till polynom av högre grad än 2. Den franske matematikern [http://en.wikipedia.org/wiki/Fran%C3%A7ois_Vi%C3%A8te François Viète] var en av de första som såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna <math> x_1 + x_2 = -p\, </math> och <math> x_1 \cdot x_2 = q </math> efter honom <span style="color:red">Vietas formler</span>.
+
Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.
  
−
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda lösningsformeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.
 
−
===== Exempel 1 =====
 
  
−
Ta ekvationen
+
== Dubbelrot ==
  
−
<math> x^2 - 7\,x + 10 = 0 </math>
+
När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.
  
−
För lösningarna <math> x_1\,</math> och <math> x_2\,</math> måste enligt Vietas formler gälla:
 
  
−
<math> \begin{align} x_1  +   x_2 & = -(-7) = 7  \\
+
----
−
                      x_1 \cdot x_2 & = 10
+
'''Sats (Faktorisering med 1 nollställe)''':<big>
−
        \end{align}</math>
+
::Om 2:gradspolynomet <math> x^2 + p\,x + q </math> endast har ett nollställe <math> x_1\, </math> så gäller:
  
−
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man 2 och 5 eftersom <math> 2 + 5 = 7\, </math> och <math> 2 \cdot 5 = 10 </math>. Prövning bekräftar resultatet:
+
:::::::::<math> x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 </math>
  
−
<math> 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 </math>
+
::Ett sådant nollställe kallas för <strong><span style="color:red">dubbelrot</span></strong> till ekvationen <math> x^2 + p\,x + q = 0 </math>.
 +
----
 +
</big>
  
−
<math> 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 </math>
 
  
−
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet <math> x^2 - 7\,x + 10 </math> kan vi faktorisera det:
+
==== Exempel ====
  
−
<math> x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) </math>
+
Polynomet <math> x^2 - 6\,x + 9 </math> har dubbelroten <math> x = 3\, </math> eftersom ekvationen <math> x^2 - 6\,x + 9 = 0 </math> har endast lösningen <math> x = 3\, </math>, se [[Repetition_Faktorisering_%26_Vieta_från_Matte_2#Exempel_3|<strong><span style="color:blue">Exempel 3</span></strong>]] från repetitionen om Vieta.
  
−
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
+
Dubbelrötter har vissa intressanta egenskaper. En av dem kan vi se när vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt dubbelroten "skär" <math> \, x</math>-axeln.  
−
===== Exempel 2 =====
+
  
−
Till ekvationen
+
<big>Grafen till polynomfunktionen</big> <math> {\color{White} x} y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad </math> [[Image: Dubbelrot_70.jpg]]
  
−
<math> x^2 - 6\,x + 9 = 0 </math>
 
  
−
ger Vietas formler:
+
Grafen visar att kurvan inte skär utan bara <strong><span style="color:black">berör</span></strong> <math>\,x</math>-axeln vid <math> x = 3\, </math>. Dvs det finns endast <strong><span style="color:black">en</span></strong> gemensam punkt mellan kurvan och <math>\,x</math>-axeln. Det är en av de typiska egenskaperna hos dubbelrötter. De ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära <math>\,x</math>-axeln (ingen lösning alls). Matematiskt uttrycker sig denna egenskap i faktoriseringens form:
  
−
<math> \begin{align} x_1  +   x_2 & = -(-6) = 6  \\
+
::::::<math> x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)^2 </math>
−
                      x_1 \cdot x_2 & = 9
+
−
        \end{align}</math>
+
  
−
Man hittar lösningarna <math> x_1 = 3\,</math> och <math> x_2 = 3\,</math> eftersom <math> 3 + 3 = 6\,</math> och <math> 3 \cdot 3 = 9 </math>.  
+
Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har <b>en</b> lösning <math> x = 3\, </math> till 2:a gradsekvationen <math> x^2 - 6 x + 9 = 0\, </math>. Fast, om vi tittar på faktorformen <math> (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 </math> kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.
 +
 
 +
Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.
 +
 
 +
 
 +
== Internetlänkar ==
 +
 
 +
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Factoring.aspx
 +
 
 +
http://mathworld.wolfram.com/PolynomialFactorization.html
 +
 
 +
http://www.mathsisfun.com/algebra/fundamental-theorem-algebra.html
 +
 
 +
http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac04/fac04.html
 +
 
 +
http://www.lboro.ac.uk/research/helm/C_HELM_backup_24nov03/helm_website/documents/wb03_blk3.pdf
  
−
Därför kan polynomet <math> x^2 - 6\,x + 9 </math> faktoriseras så här:
 
  
−
<math> x^2 - 6\,x + 9 = (x - 3) \cdot (x - 3) = (x - 3)^2 </math>
 
  
−
Det intressanta med detta exempel är att vi endast har <u>en</u> lösning x = 3 till 2:a gradsekvationen <math> x^2 - 6 x + 9 = 0 </math>. Fast, om vi tittar på faktorformen <math> (x - 3) (x - 3) = 0 </math> kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar - en filosofisk skillnad som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en <span style="color:red">dubbelrot</span>.
 
−
== Dubbelrot ==
 
  
−
'''Sats (Faktorisering med 1 nollställe)''':
+
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 oktober 2014 kl. 11.09

       Repetition: Faktorisering & Vieta          Teori          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt -->      

<-- Förra avsnitt


Lektion 3 Faktorisering av polynom

Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning


Polynom i faktorform

Exempel

Vi betraktar följande likhet (Exempel 1 från tidigare):

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Man inser likheten ovan genom att utveckla högerledet:

\[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]

Till höger har vi ett polynom som en summa av termer. Till vänster står samma polynom som en produkt av faktorer dvs ett polynom i faktorform.

Faktorformen (produkten) är resultat av faktorisering av polynomet (summan). Polynomet är av grad 2, medan ingredienserna i faktorformen dvs \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är polynom av grad 1. Man kan jämföra det med faktoriseringen \( 12 = 3 \cdot 4\, \). Faktorerna 3 och 4 är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) i sina beståndsdelar \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \).

Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) till 0 och får följande ekvation:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 \]

Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal \( x\,\) för vilka polynomets värde är \( 0\,\). Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen \((x-3) \cdot (x-4) \) har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna: Det är nollproduktmetoden som vi lärde oss i Matte 2 som visar att \( 3\,\) och \( 4\,\) är lösningar till ekvationen \( (x-3) \cdot (x-4) = 0 \). Här en påminnelse:

Nollproduktmetoden

Så här resonerar nollproduktmetoden:

  • Vi har ekvationen:
\[ (x-3) \cdot (x-4) \, = \, 0 \]
  • För att produkten i vänsterledet ska vara lika med \( 0\,\) måste antingen den första faktorn \( (x-3)\, \) eller den andra faktorn \( (x-4)\, \) vara lika med \( 0\,\).
  • För att \( (x-3)\, \) eller \( (x-4)\, \) ska vara lika med \( 0\,\) måste \( x\, \) antingen vara lika med \( 3\,\) eller lika med \( 4\,\).
  • Detta i sin tur innebär att \( 3\,\) och \( 4\,\) är lösningar till ekvationen ovan.

Pga likheten mellan polynom och dess faktorform (se ovan) måste \( 3\,\) och \( 4\,\) även vara polynomets nollställen och därmed lösningar till ekvationen:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

I det här exemplet hade vi redan faktorformen och diskuterade i efterhand likheten med polynomet och dess konsekvenser. Men vad gör man om man inte än har faktorformen? Hur får man fram den?


Faktorisering av 2:a gradspolynom

Resonemanget ovan ger oss följande metod i handen for att få fram faktorformen från polynomet.

Exempel: Faktorisera polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \)

Lösning: Hitta polynomets nollställen dvs ställ upp och lös 2:a gradsekvationen:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]

För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) gäller enligt Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 12 \end{align}\]

Dvs vi behöver hitta två tal vars produkt är 12 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man:

\[\begin{align} x_1 & = 3 \\ x_2 & = 4 \end{align}\]

eftersom \( 3 + 4 = 7\, \) och \( 3 \cdot 4 = 12 \). Därmed är polynomets faktorisering:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = \underline{(x - 3) \cdot (x - 4)} \]


Självklart hade man kunnat använda även p-q-formeln för att lösa 2:a gradsekvationen. Då hade det sett ut så här:

\[\begin{array}{rcl} x^2 - 7\,x + 12 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{12,25 - 12} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm \sqrt{0,25} \\ x_{1,2} & = & 3,5 \pm 0,5 \\ x_1 & = & 3 \\ x_2 & = & 4 \end{array}\]

Man ser just i det här fallet att Vieta är enklare och snabbare. Enklare aritmetik har den stora praktiska fördelen att risken för felräkning minimeras.

Det vi genomförde för vårt exempel kan generaliseras till alla 2:gradspolynom, åtminstone sådana som är givna i normalform:


Sats (Faktorisering med 2 nollställen):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att bevisa satsen ovan kan man t.ex. sätta in p-q-formeln för \( x_1\, \) och \( x_2\, \), utveckla produkten på högerledet och genomföra jämförelse av koefficienter, se övn. 13.

Det finns motsvarande satser om polynom av högre grad än 2, se Algebrans fundamentalsats.


Rotens olika betydelser

Ordet rot har i matematiken olika betydelser i olika sammanhang:

  • Räkneoperationen rotdragning med rottecknet \( {\color{White}{y=}}\!\!\!\!\!\!\!\!\sqrt{\color{White}x} \) som symbol, t.ex. roten ur \( 4\, \) är \( 2\, \) osv.
  • Lösningen av en ekvation. I ekvationssammanhang är rot synonym till en ekvations lösning. T.ex. är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs lösningar till ekvationen \( x^2 = 4\, \).
  • Nollstället till ett polynom. I polynomsammanhang är rot synonym till ett polynoms nollställe. I exemplet ovan är \( x_1 = 2\, \) och \( x_2 = -2\, \) rötter dvs nollställen till polynomet \( x^2 - 4\, \).

Sammanhanget avgör vilken betydelse som gäller just i den aktuella kontexten.


Dubbelrot

När vi nu i fortsättningen pratar om en dubbelrot menar vi två lösningar till en ekvation som sammanfaller, vilket även kan uppfattas som endast en lösning.


Sats (Faktorisering med 1 nollställe):

Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) endast har ett nollställe \( x_1\, \) så gäller:
\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1)^2 \]
Ett sådant nollställe kallas för dubbelrot till ekvationen \( x^2 + p\,x + q = 0 \).


Exempel

Polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) har dubbelroten \( x = 3\, \) eftersom ekvationen \( x^2 - 6\,x + 9 = 0 \) har endast lösningen \( x = 3\, \), se Exempel 3 från repetitionen om Vieta.

Dubbelrötter har vissa intressanta egenskaper. En av dem kan vi se när vi ritar grafen till polynomfunktionen och undersöker på vilket sätt dubbelroten "skär" \( \, x\)-axeln.

Grafen till polynomfunktionen \( {\color{White} x} y = x^2 - 6\,x + 9 \; {\rm :} \quad\quad \) Dubbelrot 70.jpg


Grafen visar att kurvan inte skär utan bara berör \(\,x\)-axeln vid \( x = 3\, \). Dvs det finns endast en gemensam punkt mellan kurvan och \(\,x\)-axeln. Det är en av de typiska egenskaperna hos dubbelrötter. De ligger på gränsen mellan att skära (två lösningar) och inte skära \(\,x\)-axeln (ingen lösning alls). Matematiskt uttrycker sig denna egenskap i faktoriseringens form:

\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x-3) \cdot (x-3) = (x-3)^2 \]

Det intressanta med dubelrötter är att vi endast har en lösning \( x = 3\, \) till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0\, \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) \cdot (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar eller två som sammanfaller - ett filosofiskt dilemma som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.

Andra viktiga egenskaper av dubbelrötter kommer vi att lära känna senare när vi i kapitel 2 behandlar derivering.


Internetlänkar

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Factoring.aspx

http://mathworld.wolfram.com/PolynomialFactorization.html

http://www.mathsisfun.com/algebra/fundamental-theorem-algebra.html

http://www.sosmath.com/algebra/factor/fac04/fac04.html

http://www.lboro.ac.uk/research/helm/C_HELM_backup_24nov03/helm_website/documents/wb03_blk3.pdf



Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=1.2_Faktorisering_av_polynom&oldid=16132"