Skillnad mellan versioner av "3.1 Lösning 4b"
Från Mathonline
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (16 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| − | + | Från a) vet vi att derivatan | |
| − | + | :<math> f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 </math> | |
| + | har två nollställen <math> \, x_1 = 1 \, </math> och <math> \, x_2 = 5 \, </math>. | ||
| + | Teckenstudium kring | ||
| + | * nollstället <math> \, x_1 = 1 \, </math>: | ||
| − | :<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 </math> |
| − | :<math> f\,'\,( | + | ::<math> f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> |
| − | + | * nollstället <math> \, x_2 = 5 \, </math>: | |
| + | ::<math> f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 </math> | ||
| + | ::<math> f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 </math> | ||
| − | + | Vi inför resultaten i en teckentabell: | |
| − | + | ||
<table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;"> | <table RULES="ALL" class="spaced-table" style="margin-left:30px;"> | ||
| Rad 44: | Rad 48: | ||
</table> | </table> | ||
| − | + | Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt [[3.1_Växande_och_avtagande#Regler_om_v.C3.A4xande_och_avtagande|<strong><span style="color:blue">reglerna om växande och avtagande</span></strong>]] dra slutsatserna: | |
| − | + | ||
| − | + | För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. | |
| − | I intervallet <math> {\color{White} x} | + | I intervallet <math> {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> växande. |
| − | För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x > | + | För alla <math> {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} </math> är <math>\, f(x) </math> avtagande. |
| − | + | ||
Nuvarande version från 2 december 2014 kl. 12.21
Från a) vet vi att derivatan
\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]
har två nollställen \( \, x_1 = 1 \, \) och \( \, x_2 = 5 \, \).
Teckenstudium kring
- nollstället \( \, x_1 = 1 \, \):
- \[ f\,'\,(0,9) \,=\, -9\cdot 0,9^2 + 54\cdot 0,9 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
- \[ f\,'\,(1,1) \,=\, -9\cdot 1,1^2 + 54\cdot 1,1 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- nollstället \( \, x_2 = 5 \, \):
- \[ f\,'\,(4,9) \,=\, -9\cdot 4,9^2 + 54\cdot 4,9 - 45 \,=\, 3,51 \,>\, 0 \]
- \[ f\,'\,(5,1) \,=\, -9\cdot 5,1^2 + 54\cdot 5,1 - 45 \,=\, -3,69 \,<\, 0 \]
Vi inför resultaten i en teckentabell:
| \(x\) | \(1\) | \(5\) | |||
| \( f\,'(x) \) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \( f(x) \) | ↘ | ↗ | ↘ |
Eftersom derivatan är en 2:a gradsfunktion och därmed inte har fler än två nollställen kan vi enligt reglerna om växande och avtagande dra slutsatserna:
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 1 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
I intervallet \( {\color{White} x} 1 < x < 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.
För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 5 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.
