Skillnad mellan versioner av "2.6 Derivatan av exponentialfunktioner"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (11 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 9: | Rad 9: | ||
| − | [[Media: Lektion 21 Deriv Expfkt | + | [[Media: Lektion 21 Deriv Expfkt Rutaa.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner</span></strong>]] |
__TOC__ | __TOC__ | ||
| Rad 16: | Rad 16: | ||
== Derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x </math> == | == Derivatan av exponentialfunktionen <math> \, y = a\,^x </math> == | ||
| − | Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> e\, </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1. | + | Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen <math> y = a\,^x </math> med en godtycklig bas <math> a > 0\, </math> genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen <math> y = e\,^x </math> med basen <math> \, e = </math> Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas <math> \,a </math>. Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om [[1.4_Talet_e:_Exponentialfunktionen_med_basen_e_och_den_naturliga_logaritmen|<strong><span style="color:blue">exponentialfunktionen med basen <math> e\, </math> (Eulers tal)</span></strong>]] från kapitel 1. |
| − | Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. | + | Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för <math> y = a\,^x </math>. Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel <math>-</math> den enklaste möjliga, nämligen <strong><span style="color:red">derivatan = funktionen</span></strong> <math>-</math> och frågar efter en <strong><span style="color:red">bas</span></strong> som gör att denna deriveringsregel gäller. Därför lyder frågeställningen: |
<div style="border:1px solid black; | <div style="border:1px solid black; | ||
| Rad 33: | Rad 33: | ||
::::::::<math> \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots </math> | ::::::::<math> \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots </math> | ||
| − | Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel. | + | Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel. Men först ska vi försöka med derivatans definition: |
| Rad 48: | Rad 48: | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
| − | + | Vi konstruerar tangenten till <math> y = e\,^x </math> i punkten <math> \,x = 0 </math>: | |
Ekvationen för tangenten till kurvan <math> y = e\,^x </math> i punkten <math> \,x = 0 </math> har <math>\,k</math>-formen <math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math> . | Ekvationen för tangenten till kurvan <math> y = e\,^x </math> i punkten <math> \,x = 0 </math> har <math>\,k</math>-formen <math> y \, = \, k\,x \, + \, m </math> . | ||
| Rad 73: | Rad 73: | ||
::<math> y \, = \, x \, + \, 1 </math> | ::<math> y \, = \, x \, + \, 1 </math> | ||
| − | + | ---- | |
==== Eulers bevis ==== | ==== Eulers bevis ==== | ||
| Rad 113: | Rad 113: | ||
== Deriveringsregeln för <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> == | == Deriveringsregeln för <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> == | ||
| + | |||
| + | Vi har det generella resultatet: | ||
| Rad 118: | Rad 120: | ||
<b>Derivatan av exponentialfunktionen <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> med godtycklig bas <math> \, a > 0 </math> och <math> C,\,k = {\rm const.} </math></b> | <b>Derivatan av exponentialfunktionen <math> y = C\,a\,^{k\,x} </math> med godtycklig bas <math> \, a > 0 </math> och <math> C,\,k = {\rm const.} </math></b> | ||
| − | ::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & C\,a\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\ | + | ::<math> \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & C\,a\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\ |
{\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a | {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
Nuvarande version från 24 november 2014 kl. 13.01
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 21 Derivatan av exponentialfunktioner
Innehåll
Derivatan av exponentialfunktionen \( \, y = a\,^x \)
Vi kommer i detta avsnitt att ställa upp deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \) genom att först härleda derivatan av exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) med basen \( \, e = \) Eulers tal och sedan gå över till godtycklig bas \( \,a \). Därför kan det vara bra att friska upp sina kunskaper om exponentialfunktionen med basen \( e\, \) (Eulers tal) från kapitel 1.
Vi kommer att först göra ett försök att hjälp av med derivatans definition ställa upp en deriveringsregel för \( y = a\,^x \). Vi kan redan säga nu: Försöket kommer att misslyckas, vilket dock kommer att leda oss till den avgörande frågeställning som kommer att lösa problemet. Denna frågeställning vänder på steken: Istället för att fråga efter deriveringsregeln, ger man en deriveringsregel \(-\) den enklaste möjliga, nämligen derivatan = funktionen \(-\) och frågar efter en bas som gör att denna deriveringsregel gäller. Därför lyder frågeställningen:
Svaret är: Ja, om och endast om \( {\color{White} x} a \, = \, e \) . Detta är möjligt eftersom vi har friheten att välja en bas.
Frågeställningen har i matematikens historia motiverat den schweiziske matematikern Leonard Euler att ställa upp sin berömda formel för beräkning av talet \( e\, \) som vi använde i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till? På 1700-talet bevisade Euler att den efterfrågade basen var just \( e\, \), varför talet kallats efter honom. Eulers formel kan vi nu \(-\) efter att ha behandlat limesbegreppet \(-\) formulera så här:
- \[ \lim_{x \to \infty} {\left(1 + {1 \over x}\right)^x} \; =\; e \; = \; 2,718281828\cdots \]
Vi försöker i detta avsnitt att följa Eulers bevis för denna formel. Men först ska vi försöka med derivatans definition:
Misslyckat försök med derivatans definition
Derivatan av \( \, y = e\,^x \) med \( \,e = \) Eulers tal
Vi antar att det finns en bas \( \,e \) \(-\) som än så länge är okänd \(-\) så att:
- \[\begin{array}{lclcl} y & = & f\,(x) & = & e\,^x \\ y\,' & = & f\,'\,(x) & = & e\,^x \end{array}\]
Vi konstruerar tangenten till \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \):
Ekvationen för tangenten till kurvan \( y = e\,^x \) i punkten \( \,x = 0 \) har \(\,k\)-formen \( y \, = \, k\,x \, + \, m \) .
För att bestämma \( \, k \) konstaterar vi att tangenten till kurvan \( y = e\,^x \) i \( \,x = 0 \) har samma lutning \(\,k\) som själva kurvan i denna punkt, nämligen \( f\,'(0) \). Därför:
- \[ k \, = \, f\,'(0) \, = \, e\,^0\, = \, 1 \]
Således blir tangentens ekvation \( y \, = \, x \, + \, m \) .
För att bestämma \( \, m \) sätter vi in beröringspunktens koordinater
- \[ x = 0 \]
- \[ y = f(0) = e\,^0 = 1 \]
i tangentens ekvation och beräknar \( \, m \):
- \[\begin{array}{rcl} y & = & x \, + \, m \\ 1 & = & 0 \, + \, m \\ 1 & = & m \end{array}\]
Då blir tangentens ekvation:
- \[ y \, = \, x \, + \, 1 \]
Eulers bevis
På denna tangent konstruerar vi en punktföljd \( P_1, \, P_2, \, P_3, \, \ldots \) vars \( \,x\)-koordinater bildar talföljden
- \[ 1, \, {1 \over 2}, \, {1 \over 3}, \, {1 \over 4}, \, \ldots \qquad {\rm med\;den\;allmänna \;termen} \qquad x_n \, = \, {1 \over n} \qquad \mbox{där} \;\; n = 1,\,2,\,3,\,\cdots \]
Se även tabellen i Hur kom(mer) talet \( e \,\) till?
Vi har fått följande resultat:
Derivatan av exponentialfunktionen med basen \( \, e \)
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & e\,^x \;\; {\rm där} \;\; e = {\rm Eulers\;tal} \\ {\rm då} & y\,' & = & e\,^x \end{array}\]
Deriveringsregeln för \( y = C\,e\,^{k\,x} \)
Deriveringsregeln för \( y = a\,^x \)
Från att ha ställt upp deriveringsregeln för exponentialfunktionen \( y = e\,^x \) är det bara ett enkelt steg till deriveringsregeln för den allmänna exponentialfunktionen \( y = a\,^x \) med en godtycklig bas \( a > 0\, \):
Specialfallet \( a = e\, \) och \( \ln a = \ln e = 1\, \) ger derveringsregeln \( y\,' = e^x \) för exponentialfunktionen med basen \( e\, \).
Deriveringsregeln för \( y = C\,a\,^{k\,x} \)
Vi har det generella resultatet:
Derivatan av exponentialfunktionen \( y = C\,a\,^{k\,x} \) med godtycklig bas \( \, a > 0 \) och \( C,\,k = {\rm const.} \)
- \[ \begin{array}{llcl} {\rm Om} & y & = & C\,a\,^{k\,x} \;\; {\rm där} \;\; a > 0,\;\; C,\,k = {\rm const.} \\ {\rm då} & y\,' & = & C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \end{array}\]
Uppdaterad tabell över deriveringsregler
Vi utvidgar tabellen över deriveringsregler från förra avsnitt med våra nya resultat i detta avsnitt. I följande tabell är \( C,\,c,\,a,\,k,\,m,\,n \) konstanter medan \( x\, \) och \( y\, \) är variabler:
\( y\, \) \( y\,' \) \( c\, \) \( 0\, \) \( x\, \) \( 1\, \) \( a\; x \) \( a\, \) \( k\; x \, + \, m \) \( k\, \) \( x^2\, \) \( 2\,x \) \( a\,x^2 \) \( 2\,a\,x \) \( x^n\, \) \( n\cdot x\,^{n-1} \) \( a\,x\,^n \) \( a\cdot n\cdot x\,^{n-1} \) \( \displaystyle {1 \over x} \) \( \displaystyle - {1 \over x^2} \) \( \sqrt{x} \) \( \displaystyle {1 \over 2\, \sqrt{x}} \) \( e\,^x \) \( e\,^x \) \( e\,^{k\,x} \) \( k\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot e\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot e\,^{k\,x} \) \( a\,^x \) \( a\,^x \cdot \ln a \) \( C\cdot a\,^{k\,x} \) \( C\cdot k\cdot a\,^{k\,x} \cdot \ln a \) \( f(x) + g(x)\, \) \( f\,'(x) + g\,'(x) \) \( a\cdot f(x) \) \( a\cdot f\,'(x) \)
De två sista raderna i tabellen är snarare generella satser än deriveringsregler. De gäller för alla funktioner \( f(x)\, \) och \( g(x)\, \). Av praktiska skäl tar vi upp dem ändå i samma tabell som deriveringsreglerna. Denna tabell kommer att ytterligare kompletteras i Matte 4-kursen då vi kommer att lära oss fler deriveringsregler, speciellt regler för derivatan av en produkt resp. kvot av funktioner, den s.k. produkt- resp. kvotregeln.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
