Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"

Från Mathonline
Hoppa till: navigering, sök
m (→‎Förlängning & förkortning)
m
 
(585 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1: Rad 1:
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
−
{{Selected tab|[[1.4 Rationella uttryck|Teori]]}}
+
{{Not selected tab|[[1.3 Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition: Bråkräkning]]}}
−
{{Not selected tab|[[1.4 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
+
{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Teori]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
 +
{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt -->]]}}
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
 
|}
 
|}
 +
[[1.2 Faktorisering av polynom|<span style="color:blue"><-- Förra avsnitt</span>]]
  
  
−
== Vad är rationellt? ==
+
[[Media: Lektion 5 Rationella uttryck Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 5 Rationella uttryck</span></strong>]]
  
−
Ett <span style="color:red">rationellt tal</span> är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal. T.ex. är <math> 3 \over 4 </math> ett rationellt tal som därmed visar sig vara en annan beteckning för tal i bråkform.
+
[[Media: Lektion 6 Rationella uttryckFb Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck: Fördjupning</span></strong>]]
  
−
Ett <span style="color:red">rationellt uttryck</span> är kvoten mellan två polynom, t.ex. <math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>. Precis som hos bråk får nämnaren <math> x^2 - 1 </math> inte vara 0, för division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. I vårt exempel innebär detta att x varken får vara 1 eller -1, för då blir uttryckets värde odefinierat pga att <math> x^2 - 1 </math> blir 0. 
+
__TOC__
  
−
En <span style="color:red">rationell funktion</span> är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. <math> y = {6\,x \over x^2 - 1} </math>. Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller för x = -1.
 
  
−
Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen <math> 4 x = 3 </math>, utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. Division är just den operation vi inte kan genomföra med polynom. Dvs till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom, utan ett rationellt uttryck.
+
== Vad är ett rationellt uttryck? ==
  
−
Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal i regel inte heller får ett heltal utan ett rationellt tal som <math> 3 \over 4 </math>.
+
Ett <strong><span style="color:red">heltal</span></strong> är ett tal ur mängden <math> \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} </math> dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.
  
−
Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan gjort i Matte A-kursen. Utan avsikten är att vi får se att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan. Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till exemplet ovan utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen.
+
Ett <strong><span style="color:red">rationellt tal</span></strong> är ett [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<strong><span style="color:blue">tal i bråkform</span></strong>]], dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex.:
  
−
== Exempel på rationella funktioner ==
+
:::::::::<math> 3 \over 4 </math>
  
−
===== Exempel 1 =====
+
Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> 0\, </math>, t.ex. <big><big><math> 3 \over 0 </math></big></big> är inte definierad, se [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?</span></strong>]].
  
−
Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:
+
Ett <strong><span style="color:red">rationellt uttryck</span></strong> är kvoten mellan två [[1.2 Polynom|<strong><span style="color:blue">polynom</span></strong>]], t.ex.:
  
−
::::::::::::::::<math> 1 \over x </math>
+
::::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
  
−
Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Bildar man med detta uttryck den rationella funktionen
+
Nämnaren <math> x^2 - 1\, </math> får inte vara <math> 0\, </math>. Detta innebär att <math> x\, </math> varken får vara <math> 1\, </math> eller <math> -1\, </math>, för då blir polynomet <math> x^2 - 1\, </math>:s värde <math> 0\, </math> och därmed inte definierat.
  
−
:::::::::::::::<math> y = {1 \over x} </math>
+
Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>.
  
−
kan man studera uttryckets egenskaper med hjälp av funktionens graf. Intressant är nu att <math> y = 1/x </math> har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:
+
Uttryckets <strong><span style="color:red">definitionsmängd</span></strong>, dvs alla <math> x\, </math> för vilka uttrycket är definierad, är:
  
−
[[Image: y=1_div_x_70.jpg]]
+
::<math> {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math>
  
−
Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <span style="color:red">kontinuerlig</span>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i x = 0. Man säger att funktionen är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span> i x = 0.
+
Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, t.ex. när vi räknar med rationella uttryck:
  
−
Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = 1/x </math> inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = {1/x} </math> är <span style="color:red">inte definierad för x = 0</span>. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd: <math> y = {1/x} </math> är definierad för alla x utom för x = 0.
 
  
−
Icke-definierbarheten och diskontinuiteten <u>för vissa x</u> är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla x.
+
== Addition & subtraktion av rationella uttryck ==
  
−
===== Exempel 2 =====
+
Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.
  
−
Genom att understryka orden <u>för vissa x</u> i exemplet 1 ovan vill vi säga att det är bara några isolerade x-värden för vilka en rationell funktion <u>kan</u> vara odefinierad. Antalet sådana x-värden kan hos rationella funktioner vara 0, 1, 2, <math>\ldots</math>. Antalet 0 innebär att det även finns rationella funktioner som inte har några x för vilka de är odefinierade, dvs de är definierade och kontinuerliga för alla x precis som vanliga polynom. Ett exempel på sådana "snälla" rationella funktioner är:
+
Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:
  
−
:::::::::::::::<math> y_1 = {6\,x \over x^2 + 1} </math>
+
::::::<Big><strong>Repetera [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1.</strong></Big>
  
−
Anledningen till att <math>y_1\,</math> är definierad för alla x är att funktionsuttryckets nämnare, dvs polynomet <math> x^2 + 1 </math> inte har några (reella) nollställen. Det i sin tur beror på att ekvationen <br> <math> x^2 + 1 = 0 </math> saknar lösning, därför att <math> x^2 = -1 </math> och roten ur -1 inte kan dras. Grafen till funktionen <math>y_1\,</math> (övre kurvan) visar att <math>y_1\,</math> är definierad och kontinuerlig för alla x:
 
  
−
[[Image: 14Rat_fkt_utan_med_disk.jpg]]
+
Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:
  
−
I den undre delen av bilden ovan har vi, för att kunna jämföra, även ritat grafen till en annan rationell funktion <math>y_2\,</math> som skiljer sig från <math>y_1\,</math> endast i ett förtecken i nämnaren:
 
  
−
:::::::::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} </math>
+
=== Exempel 1 ===
  
−
Skillnaden i ett förtecken i nämnaren räcker för att att resultera i ett helt annorlunda beteende av funktionen <math>y_2\,</math> jämfört med <math>y_1\,</math>. Som grafen visar är <math>y_2\,</math>:s kurva uppdelad i tre grenar och har två ställen där den inte är sammanhängande (inte kontinuerlig). En blick på funktionsuttrycket avslöjar detta. Här kan vi dra nytta av faktorisering som vi lärt oss i förra avsnitt. Skriver man nämnarens polynom i faktorform ser man att att <math>y_2\,</math> varken är definierad för <math> x_1 = -1 </math> eller för <math> x_2 = 1 </math>:
+
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
  
−
:::::::::::::::<math> y_2 = {6\,x \over x^2 - 1} = {6\,x \over (x + 1) \cdot (x - 1)} </math>
+
:::::::<math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
  
−
När x närmar sig -1 eller 1 går <math>y_2</math> mot oändligheten, vilket även framgår av grafen. Exemplet visar att det som är väsentligt för rationella funktioner och därmed för rationella uttryck, är om polynomet i nämnaren har några nollställen och, om det är fallet, vilka de är. Med andra ord, om polynomet i nämnaren låter sig faktorisera eller ej. Om ja, kan vi genom faktorisering få fram nollställena. I vårt exempel kan man i <math> y_1 </math> inte faktorisera <math> x^2 + 1\, </math>. Däremot går det i <math> y_2 </math> att faktorisera <math> (x^2 - 1) = (x + 1) \cdot (x - 1) </math>.
 
  
−
== Att räkna med rationella uttryck ==
+
=== Exempel 2 ===
  
−
Inledningsvis sa vi att räknereglerna för rationella uttryck var en naturlig fortsättning av de regler som gällde för räkning med bråktal. Därför kommer vi nu, när vi går igenom dessa räkneregler, alltid inleda med en kort repetition av regler som gäller för räkning med bråktal för att dra paralleller till och underlätta förståelsen för räkning med rationella uttryck.
+
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
  
−
===== Förlängning & förkortning =====
+
:::::::<math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
  
−
[[Image: 14a_Förkort_Förläng.jpg]]
 
  
−
När de båda rationella uttrycken efter faktorisering av täljaren och nämnaren samt förkortning visar sig vara identiska uppstår frågan: Vad har hänt med diskontinuiteten i <math> x = -3 </math> som försvann efter att vi förkortat uttrycket med faktorn <math> (x+3) </math>? För att undersöka saken ritar vi båda funktioners grafer. I den vänstra delen av bilden nedan ser man grafen till funktionen:
+
=== Hjälpsats ===
  
−
:::::::::::::::<math> y_3 = {2\,x^2 + 6\,x \over x^2 - 9} = {2\,x\,(x + 3) \over (x + 3)\,(x - 3)} </math>
+
::::::<big><math> a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big>
  
−
I den högra delen av bilden har vi grafen till funktionen:
+
Bevis: <big><math> {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big>
  
−
:::::::::::::::<math> y_4 = {2\,x \over x - 3} </math>
+
Annan formulering: <big><math> {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) </math></big>
  
−
[[Image: 14ay_Förkort_Förläng_2_1_disk.jpg]]
 
  
−
Till synes visar resultatet helt identiska kurvor. Men i själva verket vet vi att funktionen <math> y_3 </math> är odefinierad i <math> x = -3 </math> och har en diskontinuitet där. Därmed har kurvan till vänster ett "hål" som man förstås inte ser. Så grafen kan lura oss. Vi måste hålla oss till funktionsuttrycket som klart visar två diskontinuiteter, en i <math> x = -3 </math> och en i <math> x = 3 </math>.
+
=== Exempel 3 ===
  
−
===== Addition & subtraktion =====
+
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
  
−
[[Image: 14b_Add_Sub_Tal.jpg]]
+
:::::::<math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
  
−
kjhbkbn
 
  
−
[[Image: 14c_Add_Sub_Tal_Euklid.jpg]]
+
=== <span style="color:blue">Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln</span> ===
 +
----
 +
 +
::<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2  \\
 +
                      {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2  \\
 +
                      {\rm \,Konjugatregeln}          \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2
 +
  \end{align}</math>
  
−
hjgvkjh
+
----
 +
I exemplen som följer används dessa regler flitigt.
  
−
[[Image: 14d_Add_Sub_Uttryck.jpg]]
 
  
−
===== Multiplikation & division =====
+
=== Exempel 4 ===
  
−
[[Image: 14e_Mult_Div_Tal_Uttryck.jpg]]
+
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
 +
 
 +
Redan i första steget används [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">konjugatregeln (baklänges)</span></strong>]] för att faktorisera den första termens nämnare:
 +
 
 +
:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
 +
 
 +
:<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
 +
 
 +
:<math> = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = </math>
 +
 
 +
:<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
 +
 
 +
 
 +
== Multiplikation & division av rationella uttryck ==
 +
 
 +
Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
 +
 
 +
 
 +
=== Exempel 1 ===
 +
 
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} </math></big></big>
 +
 
 +
:::::::<math> {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math>
 +
 
 +
 
 +
=== Exempel 2 ===
 +
 
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} </math></big></big>
 +
 
 +
:::::::<math> {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math>
 +
 
 +
 
 +
=== Exempel 3 ===
 +
 
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
 +
 
 +
:::::::<math> {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 </math>
 +
 
 +
Varför är det <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att göra så här?
 +
 
 +
:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} </math>
 +
 
 +
Det är fel att förkorta uttrycket <big><math> {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} </math></big> med <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} </math> därför att <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} </math> är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.
 +
 
 +
<strong><span style="color:red">Förklaring</span></strong>:
 +
 
 +
Låt oss anta <math> x = 1\, </math>. Felaktig förkortning ger <big><big><math> {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math></big></big> <math> = 18 </math> medan rätt svar är <big><big><math> {6+18 \over 6} = {24 \over 6} </math></big></big> <math> = 4 \neq 18 </math>.
 +
 
 +
Därav följer nödvändigheten att bryta ut <math> {\color{Red} 6} </math> i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:
 +
 
 +
:::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math>
 +
 
 +
Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.
 +
 
 +
 
 +
=== Exempel 4 ===
 +
 
 +
 
 +
[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]]
 +
 
 +
I första steget (likhetstecknet) ovan har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln (baklänges)</span></strong>]] använts:
 +
 
 +
:::<math> x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 </math>
 +
 
 +
Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>.
 +
 
 +
 
 +
=== Exempel 5 ===
 +
 
 +
Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt:
 +
 
 +
:<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot  \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math>
 +
 
 +
:<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math>
 +
 
 +
:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math>
 +
 
 +
 
 +
== Internetlänkar ==
 +
 
 +
http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
 +
 
 +
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
 +
 
 +
http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 
 +
[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Nuvarande version från 15 oktober 2014 kl. 11.12

       Repetition: Bråkräkning          Teori          Övningar          Fördjupning          Nästa avsnitt -->      

<-- Förra avsnitt


Lektion 5 Rationella uttryck

Lektion 6 Rationella uttryck: Fördjupning


Vad är ett rationellt uttryck?

Ett heltal är ett tal ur mängden \( \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.

Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:

\[ 3 \over 4 \]

Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \), t.ex. \( 3 \over 0 \) är inte definierad, se Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?.

Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex.:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

Nämnaren \( x^2 - 1\, \) får inte vara \( 0\, \). Detta innebär att \( x\, \) varken får vara \( 1\, \) eller \( -1\, \), för då blir polynomet \( x^2 - 1\, \):s värde \( 0\, \) och därmed inte definierat.

Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla \( x\, \) utom för \( x = 1\, \) och \( x = -1\, \).

Uttryckets definitionsmängd, dvs alla \( x\, \) för vilka uttrycket är definierad, är:

\[ {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \]

Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, t.ex. när vi räknar med rationella uttryck:


Addition & subtraktion av rationella uttryck

Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.

Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:

Repetera bråkräkning från Matte 1.


Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:


Exempel 1

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]


Hjälpsats

\( a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Bevis: \( {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Annan formulering: \( {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) \)


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]


Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln

\[\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\]

I exemplen som följer används dessa regler flitigt.


Exempel 4

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

Redan i första steget används konjugatregeln (baklänges) för att faktorisera den första termens nämnare:

\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \]

\[ = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]


Multiplikation & division av rationella uttryck

Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:


Exempel 1

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \)

\[ {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]


Exempel 2

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \)

\[ {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]


Exempel 3

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 \]

Varför är det fel att göra så här?

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} \]

Det är fel att förkorta uttrycket \( {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} \) med \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} \) därför att \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} \) är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.

Förklaring:

Låt oss anta \( x = 1\, \). Felaktig förkortning ger \( {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \) medan rätt svar är \( {6+18 \over 6} = {24 \over 6} \) \( = 4 \neq 18 \).

Därav följer nödvändigheten att bryta ut \( {\color{Red} 6} \) i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:

\[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]

Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.


Exempel 4

Ex Rationell uttryck Div.jpg

I första steget (likhetstecknet) ovan har den 2:a kvadreringsregeln (baklänges) använts:

\[ x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \]

Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).


Exempel 5

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} \) så långt som möjligt:

\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]

\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]

\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]


Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related



Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

Hämtad från "https://matte5.mathonline.se/index.php?title=1.3_Rationella_uttryck&oldid=16133"