Skillnad mellan versioner av "1.3 Rationella uttryck"

Versionen från 8 januari 2011 kl. 20.55 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m (→‎Förlängning och förkortning) ← Äldre redigering		Nuvarande version från 15 oktober 2014 kl. 11.12 (visa wikitext) Taifun (Diskussion | bidrag) m
(628 mellanliggande versioner av samma användare visas inte)
Rad 1:		Rad 1:
−	== Vad är rationellt? ==	+	{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%"
		+	| style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |  
		+	{{Not selected tab|[[1.3 Repetition Bråkräkning från Matte 1|Repetition: Bråkräkning]]}}
		+	{{Selected tab|[[1.3 Rationella uttryck|Teori]]}}
		+	{{Not selected tab|[[1.3 Övningar till Rationella uttryck|Övningar]]}}
		+	{{Not selected tab|[[1.3 Fördjupning till Rationella uttryck|Fördjupning]]}}
		+	{{Not selected tab|[[1.4 Talet e: Exponentialfunktionen med basen e och den naturliga logaritmen|Nästa avsnitt -->]]}}
		+	| style="border-bottom:1px solid #797979"  width="100%"|  
		+	|}
		+	[[1.2 Faktorisering av polynom|<span style="color:blue"><-- Förra avsnitt</span>]]
−	Ett <span style="color:red">rationellt tal</span> är kvoten (resultatet av division) mellan två heltal. T.ex. är <math> 3 \over 4 </math> ett rationellt tal som därmed visar sig vara en annan beteckning för tal i bråkform.
−	Ett <span style="color:red">rationellt uttryck</span> är kvoten mellan två polynom, t.ex. <math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>. Precis som hos bråk får nämnaren <math> x^2 - 1 </math> inte vara 0, för division med 0 ger inget tal och är därför odefinierad. I vårt exempel innebär detta att x varken får vara 1 eller -1, för då blir uttryckets värde odefinierat pga att <math> x^2 - 1 </math> blir 0.	+	[[Media: Lektion 5 Rationella uttryck Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 5 Rationella uttryck</span></strong>]]
−	En <span style="color:red">rationell funktion</span> är kvoten mellan två polynomfunktioner, t.ex. <math> y = {6\,x \over x^2 - 1} </math>. Av samma skäl som ovan är denna funktion varken definierad för x = 1 eller för x = -1.	+	[[Media: Lektion 6 Rationella uttryckFb Ruta.pdf|<strong><span style="color:blue">Lektion 6 Rationella uttryck: Fördjupning</span></strong>]]
−	Precis som man utvidgar talbegreppet från heltal till bråktal för att kunna ange en lösning t.ex. till ekvationen <math> 4 x = 3 </math>, utvidgar man funktionsbegreppet från polynomfunktioner till rationella funktioner för att kunna hantera uttryck där polynom divideras. Division är just den operation vi inte kan genomföra med polynom. Dvs till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom i regel inte ett polynom, utan ett rationellt uttryck.	+	__TOC__
−	Övergången från polynom till rationella uttryck är jämförbar med övergången från heltal till rationella tal (bråk) där man genom division av två heltal i regel inte heller får ett heltal utan ett rationellt tal som <math> 3 \over 4 </math>.
−	Avsikten med detta avsnitt är inte att vi ska lära oss räkna med bråktal, för det har vi (förhoppningsvis!) redan gjort i Matte A-kursen. Utan avsikten är att vi får se att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan. Analogin mellan heltal och rationella tal å ena sidan och polynom och rationella uttryck å andra sidan är inte begränsad till exemplet ovan utan går mycket längre och är ett av matematikens vackraste fenomen.	+	== Vad är ett rationellt uttryck? ==
−	== Exempel på rationella funktioner ==	+	Ett <strong><span style="color:red">heltal</span></strong> är ett tal ur mängden <math> \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} </math> dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.
−	===== Exempel 1 =====	+	Ett <strong><span style="color:red">rationellt tal</span></strong> är ett [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<strong><span style="color:blue">tal i bråkform</span></strong>]], dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget <math> 0\, </math> i nämnaren, t.ex.:
−	Det enklast tänkbara exemplet på ett rationellt uttryck är:	+	:::::::::<math> 3 \over 4 </math>
−	::::::::::::::::<math> 1 \over x </math>	+	Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med <math> 0\, </math>, t.ex. <big><big><math> 3 \over 0 </math></big></big> är inte definierad, se [[1.3_Fördjupning_till_Rationella_uttryck#Varf.C3.B6r_.C3.A4r_division_med_0_inte_definierad.3F|<strong><span style="color:blue">Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?</span></strong>]].
−	Uttrycket är rationellt därför att det är en kvot mellan polynomet 1 (av graden 0) och polynomet x (av graden 1). Intressant är nu att den rationella funktionen	+	Ett <strong><span style="color:red">rationellt uttryck</span></strong> är kvoten mellan två [[1.2 Polynom|<strong><span style="color:blue">polynom</span></strong>]], t.ex.:
−	:::::::::::::::<math> y = {1 \over x} </math>	+	::::::::<math> 6\,x \over x^2 - 1 </math>
−	har en graf vars förlopp markant skiljer sig från polynomfunktioners utseende:	+	Nämnaren <math> x^2 - 1\, </math> får inte vara <math> 0\, </math>. Detta innebär att <math> x\, </math> varken får vara <math> 1\, </math> eller <math> -1\, </math>, för då blir polynomet <math> x^2 - 1\, </math>:s värde <math> 0\, </math> och därmed inte definierat.
−	[[Image: y=1_div_x_70.jpg]]	+	Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla <math> x\, </math> utom för <math> x = 1\, </math> och <math> x = -1\, </math>.
−	Den väsentliga skillnaden mellan denna graf och polynomfunktioners graf är att den här har två skilda grenar, medan en polynomfunktions graf har ett sammanhängande förlopp. Uttryckt i matematiska termer säger man att en polynomfunktion är <span style="color:red">kontinuerlig</span>. Ett polynoms graf kan ritas utan att man lyfter pennan från papperet, medan i grafen ovan måste vid x = 0 pennan lyftas för att gå från grafens ena gren till den andra. Dvs grafen är inte sammanhängande i x = 0. Man säger att funktionen är <span style="color:red">icke-kontinuerlig</span> i x = 0.	+	Uttryckets <strong><span style="color:red">definitionsmängd</span></strong>, dvs alla <math> x\, </math> för vilka uttrycket är definierad, är:
−	Den matematiska anledningen till denna diskontinuitet är att funktionen <math> y = 1/x </math> inte har något värde för x = 0. Division med 0 ger inget tal och är därmed odefinierad. När x närmar sig 0 går y mot oändligheten, vilket tydligt framgår av grafen. Man säger: Funktionen <math> y = {1/x} </math> är <span style="color:red">inte definierad för x = 0</span>. Man måste undanta x = 0 från funktionens definitionsmängd: <math> y = {1/x} </math> är definierad för alla x utom för x = 0.	+	::<math> {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 </math>
−	Icke-definierbarheten och diskontinuiteten för vissa x är något typiskt för alla rationella funktioner och det är det som skiljer dem från polynomfunktioner som är definierade och kontinuerliga för alla x.	+	Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, t.ex. när vi räknar med rationella uttryck:
−	===== Exempel 2 =====
		+	== Addition & subtraktion av rationella uttryck ==
−	== Att räkna med rationella uttryck ==	+	Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.
		+	Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:
−	===== Förlängning & förkortning =====	+	::::::<Big><strong>Repetera [[Repetition_Bråkräkning_från_Matte_1|<span style="color:blue">bråkräkning</span>]] från Matte 1.</strong></Big>
−	===== Addition & subtraktion =====
		+	Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:
−	===== Multiplikation & division =====	+
		+	=== Exempel 1 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
		+
		+	:::::::<math> {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} </math>
		+
		+
		+	=== Exempel 2 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
		+
		+	:::::::<math> {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} </math>
		+
		+
		+	=== Hjälpsats ===
		+
		+	::::::<big><math> a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big>
		+
		+	Bevis: <big><math> {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) </math></big>
		+
		+	Annan formulering: <big><math> {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) </math></big>
		+
		+
		+	=== Exempel 3 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
		+
		+	:::::::<math> {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} </math>
		+
		+
		+	=== <span style="color:blue">Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln</span> ===
		+	----
		+
		+	::<math>\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2  \\
		+	{\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad          (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2  \\
		+	{\rm \,Konjugatregeln}          \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2
		+	\end{align}</math>
		+
		+	----
		+	I exemplen som följer används dessa regler flitigt.
		+
		+
		+	=== Exempel 4 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
		+
		+	Redan i första steget används [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">konjugatregeln (baklänges)</span></strong>]] för att faktorisera den första termens nämnare:
		+
		+	:<math> {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
		+
		+	:<math> = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; </math>
		+
		+	:<math> = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = </math>
		+
		+	:<math> = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} </math>
		+
		+
		+	== Multiplikation & division av rationella uttryck ==
		+
		+	Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:
		+
		+
		+	=== Exempel 1 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} </math></big></big>
		+
		+	:::::::<math> {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} </math>
		+
		+
		+	=== Exempel 2 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} </math></big></big>
		+
		+	:::::::<math> {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} </math>
		+
		+
		+	=== Exempel 3 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt.
		+
		+	:::::::<math> {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 </math>
		+
		+	Varför är det <strong><span style="color:red">fel</span></strong> att göra så här?
		+
		+	:<math> {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} </math>
		+
		+	Det är fel att förkorta uttrycket <big><math> {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} </math></big> med <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} </math> därför att <math> {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} </math> är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.
		+
		+	<strong><span style="color:red">Förklaring</span></strong>:
		+
		+	Låt oss anta <math> x = 1\, </math>. Felaktig förkortning ger <big><big><math> {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} </math></big></big> <math> = 18 </math> medan rätt svar är <big><big><math> {6+18 \over 6} = {24 \over 6} </math></big></big> <math> = 4 \neq 18 </math>.
		+
		+	Därav följer nödvändigheten att bryta ut <math> {\color{Red} 6} </math> i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:
		+
		+	:::::::<math> {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} </math>
		+
		+	Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.
		+
		+
		+	=== Exempel 4 ===
		+
		+
		+	[[Image: Ex Rationell uttryck Div.jpg]]
		+
		+	I första steget (likhetstecknet) ovan har den [[1.3_Rationella_uttryck#Repetition:_Kvadreringsreglerna_.26_konjugatregeln|<strong><span style="color:blue">2:a kvadreringsregeln (baklänges)</span></strong>]] använts:
		+
		+	:::<math> x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 </math>
		+
		+	Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med <math> (x-1)\, </math>.
		+
		+
		+	=== Exempel 5 ===
		+
		+	Förenkla uttrycket <big><big><math> {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} </math></big></big> så långt som möjligt:
		+
		+	:<math> \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot  \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, </math>
		+
		+	:<math> \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, </math>
		+
		+	:<math> \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over  y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} </math>
		+
		+
		+	== Internetlänkar ==
		+
		+	http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html
		+
		+	http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx
		+
		+	http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel
		+
		+	http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related
		+
		+
		+
		+
		+	[[Matte:Copyrights|Copyright]] © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.

---

Nuvarande version från 15 oktober 2014 kl. 11.12

Repetition: Bråkräkning

Teori

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

<-- Förra avsnitt

Lektion 5 Rationella uttryck

Lektion 6 Rationella uttryck: Fördjupning

Vad är ett rationellt uttryck?

Ett heltal är ett tal ur mängden \( \left\{ \dots, -3, -2, -1, \,0,\, 1,\, 2,\, 3, \dots \right\} \) dvs alla negativa heltal, noll och alla positiva heltal.

Ett rationellt tal är ett tal i bråkform, dvs kvoten (resultatet av division) mellan två heltal med undantaget \( 0\, \) i nämnaren, t.ex.:

\[ 3 \over 4 \]

Noll får inte förekomma i nämnaren, för division med \( 0\, \), t.ex. \( 3 \over 0 \) är inte definierad, se Fördjupning: Varför är division med 0 inte definierad?.

Ett rationellt uttryck är kvoten mellan två polynom, t.ex.:

\[ 6\,x \over x^2 - 1 \]

Nämnaren \( x^2 - 1\, \) får inte vara \( 0\, \). Detta innebär att \( x\, \) varken får vara \( 1\, \) eller \( -1\, \), för då blir polynomet \( x^2 - 1\, \):s värde \( 0\, \) och därmed inte definierat.

Följaktligen blir även hela uttryckets värde inte definierat. Man säger, det rationella uttrycket ovan är definierat för alla \( x\, \) utom för \( x = 1\, \) och \( x = -1\, \).

Uttryckets definitionsmängd, dvs alla \( x\, \) för vilka uttrycket är definierad, är:

\[ {\rm Alla}\quad x \quad {\rm med} \quad x \neq 1 \quad {\rm och} \quad x \neq -1 \]

Analogin (motsvarigheten) mellan heltal och polynom å ena och rationellt tal och rationellt uttryck å andra sidan kommer att gå som en röd tråd genom hela detta avsnitt, t.ex. när vi räknar med rationella uttryck:

Addition & subtraktion av rationella uttryck

Analogin som nämndes ovan innebär bl.a. att räknereglerna för rationella uttryck är en naturlig fortsättning av de regler som gäller för räkning med bråktal, fast på ett högre plan.

Man kan säga att räknereglerna för rationella uttryck är generaliseringar av bråkräkningens regler. Därför kan samma principer som gäller för bråkräkning, användas för räkning med rationella uttryck. Därför:

Repetera bråkräkning från Matte 1.

Vi ska nu använda bråkräkningens regler för att addera och subtrahera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {5 \over 2\,x} \, - \, {4 \over 3\,x} \; = \; {\;5 \;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 2\,x \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, - \, {\;4 \;\,\cdot {\color{Red} {2\,x}} \over 3\,x \cdot {\color{Red} {2\,x}}} \; = \; {\;15\,x \over 6\,x^2} \, - \, {\;8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {\;15\,x - 8\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7\,x \over 6\,x^2} \; = \; {7 \over 6\,x} \]

Exempel 2

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {7 \over 12\,x} \, - \, {3 \over 8\,x^2} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {\;\;7 \;\;\,\cdot {\color{Red} {2\,x^2}} \over 12\,x \cdot {\color{Red} {2\,x^2}}} \, - \, {\;\,3 \;\;\,\cdot {\color{Red} {3\,x}} \over 8\,x^2 \cdot {\color{Red} {3\,x}}} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 \over 24\,x^3} \, - \, {9\,x \over 24\,x^3} \, + \, {7 \over 24\,x^3} \; = \; {14\,x^2 - 9\,x + 7 \over 24\,x^3} \]

Hjälpsats

\( a\,-\,b \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Bevis: \( {\color{White} x} \qquad\qquad a\,-\,b \; = \; -\,b\,+\,a \; = \; -\,(b\,-\,a) \)

Annan formulering: \( {\color{White} x} \, b\,-\,a \; = \; -\,(a\,-\,b) \)

Exempel 3

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {2 \over a-b} \, - \, {1 \over b-a} \; = \; {2 \over a-b} \, - \, {1 \over - \, (a-b)} \; = \; {2 \over a-b} \, + \, {1 \over a-b} \; = \; {2 \, + \, 1 \over a-b} \; = \; {3 \over a-b} \]

Repetition: Kvadreringsreglerna & konjugatregeln

---

\[\begin{align} {\rm 1:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a+b)^2 & = a^2 + 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm 2:a \,\, kvadreringsregeln} \qquad (a-b)^2 & = a^2 - 2\,a\,b + b^2 \\ {\rm \,Konjugatregeln} \qquad (a+b) \cdot (a-b) & = a^2 - b^2 \end{align}\]

---

I exemplen som följer används dessa regler flitigt.

Exempel 4

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

Redan i första steget används konjugatregeln (baklänges) för att faktorisera den första termens nämnare:

\[ {2 \over x^2-4} \, + \, {1 \over 2\,x - x^2} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \over (2-x)\cdot x} \; = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {1 \, \over - \, (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2 \over (x+2)\cdot(x-2)} \, + \, {-1 \over (x-2)\cdot x} \; = \; {\qquad\quad 2 \qquad\quad\;\cdot {\color{Red} x} \over (x+2)\cdot(x-2) \cdot {\color{Red} x}} \; + \; {{\color{Red} {(x+2)}}\cdot \quad\, (-1) \quad\, \over {\color{Red} {(x+2)}}\cdot (x-2)\cdot x} \; = \; \]

\[ = \; {2\,x \; + \; (x+2) \cdot (-1) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x \; + \; (-x-2) \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {2\,x - x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \]

\[ = \; {x - 2 \over (x+2) \cdot (x-2)\cdot x} \; = \; {1 \over x \; (x+2)} \]

Multiplikation & division av rationella uttryck

Här ska vi använda bråkräkningens regler för att multiplicera och dividera rationella uttryck:

Exempel 1

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \)

\[ {15 \over x^2} \cdot {x \over 3} \; = \; {15 \cdot x \over x^2 \cdot 3} \; =\; {{\color{Red} 3} \cdot 5 \cdot {\color{Blue} x} \over {\color{Blue} x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3}} \; = \; {5 \over x} \]

Exempel 2

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \)

\[ {5\,x^2 \over 12} \cdot {3 \over 20\,x} \; = \; {5\,x^2 \cdot 3 \over 12 \cdot 20\,x} \; =\; {{\color{Blue} 5 \cdot x} \cdot x \cdot {\color{Red} 3} \over {\color{Red} 3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot {\color{Blue} 5 \cdot x}} \; = \; {x \over 16} \]

Exempel 3

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} {\color{White} a} \) så långt som möjligt.

\[ {x \over x+3} \cdot {6\,x+18 \over 6\,x} \; = \; {x \cdot (6\,x+18) \over (x+3) \cdot 6\,x} \; =\; {x \cdot {\color{Red} 6} \cdot {\color{Blue} (x+3)} \over {\color{Blue} (x+3)} \cdot {\color{Red} 6} \cdot x} \; = \; 1 \]

Varför är det fel att göra så här?

\[ {\rm {\color{Red} {OBS!\;Vanligt\,fel:}}} \quad\; {x \over x+3} \cdot {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \; = \; {x \over x+3} \cdot 18 \; = \; {x \cdot 18 \over x+3} \; =\; {18\,x \over x+3} \]

Det är fel att förkorta uttrycket \( {\color{White} a} {{\color{Red} {6\,x}}+18 \over {\color{Red} {6\,x}}} \, {\color{White} a} \) med \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}} {\color{White} a} \) därför att \( {\color{White} a} {\color{Red} {6\,x}}+18 {\color{White} a} \) är en summa. Endast om täljaren och nämnaren är produkter kan gemensamma faktorer förkortas.

Förklaring:

Låt oss anta \( x = 1\, \). Felaktig förkortning ger \( {{\color{Red} 6}+18 \over {\color{Red} 6}} \) \( = 18 \) medan rätt svar är \( {6+18 \over 6} = {24 \over 6} \) \( = 4 \neq 18 \).

Därav följer nödvändigheten att bryta ut \( {\color{Red} 6} \) i uttryckets andra faktor, innan man kan förkorta:

\[ {6\,x+18 \over 6\,x} \; =\; {{\color{Red} 6} \cdot (x+3) \over {\color{Red} 6} \cdot x} \; =\; {x+3 \over x} \]

Dvs täljaren som är en summa måste faktoriseras och omvandlas till en produkt innan vi kan förkorta.

Exempel 4

I första steget (likhetstecknet) ovan har den 2:a kvadreringsregeln (baklänges) använts:

\[ x^2 - 2\,x + 1 = (x-1)^2 \]

Detta för att faktorisera 2:a gradspolynomet för att sedan kunna förkorta med \( (x-1)\, \).

Exempel 5

Förenkla uttrycket \( {\color{White} a} \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Big / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \,\, {\color{White} a} \) så långt som möjligt:

\[ \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \Bigg / \,\left({x - 4 \over y^2}\right) \, = \, \left({x^2 - 8\,x + 16 \over y^3}\right)\, \cdot \,\left({y^2 \over x - 4}\right) \, = \, \]

\[ \, = \, {(x^2 - 8\,x + 16) \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, \left\{ {\rm 2\!:\!a\;kvadreringsregeln\;(baklänges)\!:} \;\, x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2 \right\} \, = \, \]

\[ \, = \, {(x-4)^2 \cdot y^2 \over y^3 \cdot (x - 4)} \, = \, {(x-4) \cdot {\color{Red} {(x-4)}} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \over y \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} y} \cdot {\color{Red} {(x - 4)}}} \, = {x-4 \over y} \]

Internetlänkar

http://www03.edu.fi/svenska/laromedel/matematik/nollkurs/pass6.html

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/RationalExpressions.aspx

http://www.youtube.com/watch?v=FZdt73khrxA&feature=channel

http://www.youtube.com/watch?v=hVIol-6vocY&feature=related

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.