Skillnad mellan versioner av "2.4 Derivatans definition"
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
Taifun (Diskussion | bidrag) m |
||
| (10 mellanliggande versioner av samma användare visas inte) | |||
| Rad 37: | Rad 37: | ||
För det är då utströmningshastigheten är störst, dvs det är då kurvan är brantast. | För det är då utströmningshastigheten är störst, dvs det är då kurvan är brantast. | ||
| − | För att göra det beräknar vi först den genomsnittliga utströmningshastigheten i ett intervall och <br> | + | För att göra det beräknar vi först den genomsnittliga utströmningshastigheten i ett intervall och <br> låter sedan intervallängden gå mot <math> 0\, </math> för att få den <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastigheten i <math> x = 0\, </math>. |
</td> | </td> | ||
| Rad 43: | Rad 43: | ||
</tr> | </tr> | ||
</table> | </table> | ||
| + | |||
== Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet == | == Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet == | ||
| Rad 50: | Rad 51: | ||
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math> | :::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h </math> | ||
| − | I denna formel sätter vi in <math> f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\, | + | I exemplet Oljetank är <math> \,x_1 = 0 </math>. Då har vi: |
| + | |||
| + | :::<math> {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math> | ||
| + | |||
| + | I denna formel sätter vi in <math> f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 </math>. Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet <math> 0 \,\leq\, x \,\leq\, h </math>: | ||
:::<math> {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 </math> | :::<math> {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 </math> | ||
| − | + | Nu låter vi i detta uttryck <math> h\, </math> gå mot <math> 0\, </math> för att få oljans <strong><span style="color:red">momentana</span></strong> utströmningshastighet i <math> x = 0\, </math>. Dvs vi beräknar gränsvärdet: | |
:::<math> \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 </math> | :::<math> \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 </math> | ||
| Rad 73: | Rad 78: | ||
Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet. | Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet. | ||
| − | En | + | En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som <strong><span style="color:red">tangentens lutning</span></strong> till kurvan <math> y = f\,(x) </math> i punkten <math> \, x = 0 </math>. Vi ska nu titta närmare på denna geometriska tolkning av derivatan. |
| Rad 158: | Rad 163: | ||
-webkit-border-radius: 5px; | -webkit-border-radius: 5px; | ||
-moz-border-radius: 5px; | -moz-border-radius: 5px; | ||
| − | border-radius: 5px;"><big>Derivatan av | + | border-radius: 5px;"><big>Derivatan av andragradsfunktioner är linjära.</big> |
</div> | </div> | ||
| Rad 166: | Rad 171: | ||
</table> | </table> | ||
| − | Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande [[2. | + | Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande [[2.1_Lösning_till_Aktiviteten_Introduktion_till_derivata|<strong><span style="color:blue">Aktivitet</span></strong> (Lösning, punkt 6)]] approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn. |
I efterhand kan vi nu verifiera det i [[2.4_Derivatans_definition#Exempel_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel Oljetank</span></strong>]] beräknade värdet av <math> f\,(x)</math>:s derivata i punkten <math> \, x = 0 </math> genom att sätta in <math> \, x = 0 </math> i derivatans funktion <math> f\,'\,(x) = 8\,x - 380 </math>: | I efterhand kan vi nu verifiera det i [[2.4_Derivatans_definition#Exempel_Oljetank|<strong><span style="color:blue">Exempel Oljetank</span></strong>]] beräknade värdet av <math> f\,(x)</math>:s derivata i punkten <math> \, x = 0 </math> genom att sätta in <math> \, x = 0 </math> i derivatans funktion <math> f\,'\,(x) = 8\,x - 380 </math>: | ||
Nuvarande version från 3 december 2014 kl. 14.46
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Nästa avsnitt --> |
Lektion 18 Derivatans definition
Innehåll
Exempel Oljetank
| I avsnittet Genomsnittlig förändringshastighet behandlade vi följande problem:
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
där \( {\color{White} x} \quad \! x \, = \, {\rm Tiden\;i\;minuter} \)
Beräkna oljans exakta dvs momentana utströmningshastighet när den är störst. Lösning: Grafen visar att kurvans lutning är störst i \( x = 0\, \), vilket innebär att den största utströmningshastigheten antas Vi ska alltså beräkna: Oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \). För det är då utströmningshastigheten är störst, dvs det är då kurvan är brantast. För att göra det beräknar vi först den genomsnittliga utströmningshastigheten i ett intervall och |
 |
Från genomsnittlig till momentan förändringshastighet
Den allmänna definitionen till genomsnittlig förändringshastighet är:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(x_1 + h) \, - \, f(x_1) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad x_1 \,\leq\, x \,\leq\, x_1 + h \]
I exemplet Oljetank är \( \,x_1 = 0 \). Då har vi:
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \; = \; {f(0 + h) \, - \, f(0) \over h} \; = \; {f(h) \, - \, f(0) \over h} \qquad {\rm i\;\;intervallet } \qquad 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \]
I denna formel sätter vi in \( f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \). Då blir oljans genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \):
- \[ {\Delta y \over \Delta x} \,=\, {f(h) \, - \, f(0) \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h + 9\,000 \,-\, 9\,000 \over h} \,=\, {4\,h^2 - 380\,h \over h} \,=\, {h\,(4\,h - 380) \over h} \,=\, 4\,h - 380 \]
Nu låter vi i detta uttryck \( h\, \) gå mot \( 0\, \) för att få oljans momentana utströmningshastighet i \( x = 0\, \). Dvs vi beräknar gränsvärdet:
- \[ \lim_{h \to 0}\, {(4\,h - 380)} \,=\, -\,380 \]
\( -\,380\, \) är oljans momentana utströmningshastighet, dvs oljan sjunker med exakt \( 380\, \) liter per minut vid tidpunkten \( x = 0 \, \).
Tidigare (Exempel 2 d) hade vi fått närmevärdet \( -\,379,6\, \) för den genomsnittliga utströmningshastighet i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,1 \), vilket nu visar sig vara ett ganska bra närmevärde. Approximationen hade varit ännu precisare om vi då hade valt t.ex. intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,01 \) eller \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, 0,001 \) osv. Exakt blir den när vi i intervallet \( 0 \,\leq\, x \,\leq\, h \) låter \( h \to 0 \), dvs beräknar gränsvärdet ovan. Ett annat ord för den momentana utströmningshastigheten är derivatan och skrivs så här:
\( f\,'\,(0) \,=\, -\,380 \) är funktionen \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \; {\rm .} \)
- \( {\color{White} x} f\,'\,(0) \;\; {\rm läses\;" } f \; {\rm prim\;av\; } 0 \; {\rm " }. \)
Den fysikaliska tolkningen av derivatan är oljans momentana utströmningshastighet.
En annan tolkning får vi om vi uppfattar derivatan som tangentens lutning till kurvan \( y = f\,(x) \) i punkten \( \, x = 0 \). Vi ska nu titta närmare på denna geometriska tolkning av derivatan.
Från sekanten till tangenten
Derivatan som gränsvärde
Derivatan som funktion
Både det fysikaliska Exemplet Oljetank och den geometriska tolkningen Från sekanten till tangenten definierar derivatan lokalt som ett värde dvs ett tal.
Men hur blir det om punkten \( \, a \) på \( \, x\)-axeln inte längre är konstant utan variabel? I så fall borde man tillämpa den lokala definitionen av derivatan på varenda punkt \( \, a \) och på så sätt få en massa värden för derivatan i varenda punkt \( \, a \). Tänker man sig att alla dessa derivatvärden är tilldelade sina respektive \( \, x\)-värden, bildar denna tilldelning en ny funktion som är den ursprungliga funktionens derivata, fast inte längre som ett tal utan som ett funktionsuttryck. På så sätt har vi fått derivatan som en funktion.
Låt oss verifiera detta genom att vidareutveckla vårt sista exempel ovan \( y = f\,(x) = 5\,x^2 \). Nu ska vi inte längre beräkna \( f\,'\,(4)\) utan ställa upp den nya funktionen \( y\,' = f\,'\,(x) \) dvs funktionen \( f\,(x) = 5\,x^2\):s derivata:
En annan notation för derivatan av en funktion \( y = f(x)\, \) som anknyter till \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \), är \( \displaystyle {dy \over dx} \) vilket vi dock inte kommer att använda så ofta.
Allmän definition
Slutligen kan vi sammanfatta:
\( \displaystyle f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \quad {\rm är\;funktionen } \; y = f\,(x){\rm :s \;\, {\color{Red} {derivata}}\;.} \)
- \( {\color{White} x} f\,'\,(x) \;\; {\rm läses\;" } f \; {\rm prim\;av\; } x \; {\rm " }. \)
Exempel Oljetank (utvidgat)
En oljetank läcker genom ett hål i tankens botten. Utströmningen av oljan beskrivs av funktionen:
- \[ y \, = \, f\,(x) \, = \, 4\,x^2 - 380\,x + 9\,000 \]
Ställ upp utströmningsfunktionens derivata med hjälp av derivatans definition. Rita grafen till den nya funktionen.
Lösning:
Först ställer vi upp de uttryck som ingår i derivatans definition och förenklar dem:
\[ \begin{array}{lcl} f(x + h) & = & 4\,(x+h)^2 - 380\,(x+h) + 9\,000 = 4\,(x^2 + 2\,x\,h + h^2) - 380\,x - 380\,h + 9\,000 = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 \\ f(x + h) - f(x) & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - (4\,x^2 - 380\,x + 9\,000) = \\ & = & 4\,x^2 + 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,x - 380\,h + 9\,000 - 4\,x^2 + 380\,x - 9\,000 \;\;\, =\\ & = & 8\,x\,h + 4\,h^2 - 380\,h \, = \, h\,(8\,x + 4\,h - 380) \\ {f(x + h) - f(x) \over h} & = & {h\,(8\,x + 4\,h - 380) \over h} \, = \, 8\,x + 4\,h - 380 \end{array}\]
| Nu sätter vi in det förenklade uttrycket ovan i derivatans definition och beräknar gränsvärdet:
\[ f\,'\,(x) \; = \; \lim_{h \to 0}\,\,{f(x + h) \, - \, f(x) \over h} \,=\, \lim_{h \to 0}\,{(8\,x + 4\,h - 380)} \,=\, 8\,x - 380 \] \( f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \) är derivatan till oljans utströmningsfunktion \( y = f\,(x) \).
Att derivatan är en linjär funktion och dess graf en rät linje är ingen tillfällighet utan ett exempel på regeln: Derivatan av andragradsfunktioner är linjära.
|
 |
Ett annat exempel på denna regel hade vi sett när vi i kapitlets inledande Aktivitet (Lösning, punkt 6) approximerade derivatan och ritade grafen till hastighetsfunktionen till Yulias hopp från 10 m-torn.
I efterhand kan vi nu verifiera det i Exempel Oljetank beräknade värdet av \( f\,(x)\):s derivata i punkten \( \, x = 0 \) genom att sätta in \( \, x = 0 \) i derivatans funktion \( f\,'\,(x) = 8\,x - 380 \):
- \[ f\,'\,(0) \,=\, 8 \cdot 0 - 380 \,=\, 0 - 380 \,=\, -\,380 \]
Vid tiden \( x = 0\, \) sjönk oljan med \( 380\, \) liter per minut som var den största utströmningshastigheten när oljan hade mest volym och utövade det största trycket på hålet.
Internetlänkar
http://www.youtube.com/watch?v=OyKmc2bPWe0
http://www.youtube.com/watch?v=8of_svLfcjk
http://www.youtube.com/watch?v=OY8CeLUxE64&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=2wH-g60EJ18&feature=related
http://www.larcentrum.org/Safir/MA1203W/htm/m03_deriv1/m03_deriv_definition.htm
http://www.naturvetenskap.org/index.php?option=com_content&view=article&id=129&Itemid=132
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
