3.1 Lösning 8b

Eftersom \( f'(1) = f'(5) = 0 \, \) är \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 1 \, \) och i \( \, x = 5 \, \) varken växande eller avtagande. I dessa punkter har tangenten till kurvan \( \, y = f(x) \, \) lutningen \( \, 0 \, \) dvs är horisontell.

Till vänster om \( \, x = 1 \, \) ligger kurvan enligt grafen ovanför \( x\)-axeln, dvs \( \, f\,'(x) > 0 \, \). Till höger om \( \, x = 1 \, \) ligger kurvan under \( x\)-axeln, dvs \( \, f\,'(x) < 0 \, \). Därför växer \( \, f(x) \, \) till vänster om \( \, x = 1 \, \) och avtar till höger om \( \, x = 1 \, \). Därav följer:

\( f(x) \, \) har ett maximum i \( \, x = 1 \, \).

Till vänster om \( \, x = 5 \, \) ligger kurvan enligt grafen under \( x\)-axeln, dvs \( \, f\,'(x) < 0 \, \). Till höger om \( \, x = 5 \, \) ligger kurvan ovanför \( x\)-axeln, dvs \( \, f\,'(x) > 0 \, \). Därför avtar \( \, f(x) \, \) till vänster om \( \, x = 5 \, \) och växer till höger om \( \, x = 5 \, \). Därav följer:

\( f(x) \, \) har ett minimum i \( \, x = 5 \, \).