Begreppsförklaringar

Definition återger ett begrepps betydelse och ger svar på frågan: "Vad är ... ?".

Ex. 1: Vad är en ekvation?

En ekvation är en likhet mellan två algebraiska uttryck med en obekant, t.ex. \(3 + x = 2\,x\).

En ekvation löser man, dvs hittar ett värde för obekanten som satisfierar ekvationen.

Ex. 2: Vad är en funktion?

En funktion är ett samband (en relation) mellan två variabler, t.ex. \(y = 4\,x - 5\).

En funktion beskrivs med en formel (ovan), en tabell eller en graf (visualisering), för att studera sambandet.

Ex. 3, se nästa avsnitt: Vad är ett primtal?

En definition är ett verktyg i kommunikationen, förutsättningen för en meningsfull kommunikation.

En definition är en överenskommelse mellan begreppets användare.

Därför kan en definition inte vara sann eller falsk.

Definitioner är i princip godtyckliga och kan inte bevisas.

"Ett begrepps definition bestäms först när det används i en konkret situation" (Wittgenstein).

Samtidigt ska en definition helst vara generell, dvs passa till alla situationer.

Sats är en utsaga eller ett påstående som är sant eller falskt.

Ex.:

1. Vinkelsumman i en triangel är 180 grader.

2. Om en triangel med sidorna a, b, c är rätvinklig, så gäller \( a^2 + b^2 = c^2 \).

3. Om det gäller \( a^2 + b^2 = c^2 \) för en triangel med sidorna a, b, c, så är triangeln rätvinklig.

Satser kan bevisas (verifieras) eller motbevisas (falsifieras).

Det finns matematiska satser som inte har bevisats hittills. Man antar att de är sanna, så länge de inte motbevisats.

Det finns självklara matematiska satser som inte behöver bevisas. De kallas för axiom.

Ex.: Parallella räta linjer skär aldrig varandra. Eller: Genom två punkter går exakt en rät linje.

Bevis är en följd av matematiska resonemang som genom logiska slutsatser leder till verifieringen av en sats.

Ex.: Beviset för Pythagoras_sats.

I ett bevis används ofta satser som redan bevisats tidigare.

Bevis måste vara generella, dvs satsen måste gälla i alla tänkbara situationer (situation = exempel).

Däremot räcker ett exempel för att motbevisa en sats.

1.1 Definition, sats och bevis