1.1 Polynom

Innehåll

1 Vad är ett polynom?
2 Ett polynoms grad
3 Ett polynoms värde
4 Att räkna med polynom
- 4.1 Exempel 1
- 4.2 Exempel 2
5 Hur är det med division av polynom?
6 Internetlänkar

Vad är ett polynom?

Ordet "poly" betyder på latin många och "nom" som egentligen betyder namn, har i matematiken innebörden term. Så "polynom" betyder många termer. Närmare bestämt är ett polynom en summa av många termer. Ett binom t.ex. är en summa av två termer osv. Men vad exakt är en term och hur ser den ut? Med term menas ett uttryck av formen:

\[ a \cdot x^n \]

där n är ett positivt heltal eller 0. Dvs n får varken vara negativt eller ett bråk (decimaltal). Talet a kallas kofficient och är en godtycklig men fast konstant. x däremot är en variabel som kan anta vilka värden som helst. Ett exempel på en term är:

\[ 8 \cdot x^3 \]

Om ett polynom ska vara en summa av många sådana termer då måste polynom vara en speciell form av ett uttryck. Och tilldelar man det till ett y då blir det en speciell form av en funktion, därför att varje term innehåller variabeln x. Samma sak gäller förstås för en summa av termer. Polynom är faktiskt, när det tilldelas ett y, en typ av funktion. Man pratar om s.k. polynomfunktioner. Närmare bestämt är polynombegreppet en generalisering samt utvidgning av de funktionstyper vi sysslat hittills med. I Matte A-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ\[ y = 4\,x + 12 \]

Här förekommer \( x \) högst som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. Grafen är en rät linje. I Matte B-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Här är 2 den högsta exponenten till \( x \). Grafen är en parabel. Redan dessa funktioner är polynomfunktioner utan att vi kallade dem så, därför att de är summor av termer som uppfyller de villkor som vi införde för n - nämligen att vara ett positivt heltal eller 0. Dvs vi har i Matte A och B sysslat med polynomfunktioner där n var 0, 1 eller 2, men inte högre. Om du har det svårt att förstå varför även konstanterna -16 och 12 i exemplen ovan kan anses som "termer" i den inledningsvis definierade bemärkelsen, kom ihåg att man kan skriva -16 som:

\[ -16 \cdot x^0 \]

Att man kan göra så beror på att \( x^0 = 1 \) enligt potenslagarna. Samma sak gäller för 12 som också är en term därför att 12 är lika med \( 12\,x^0 \). Därmed har vi identifierat både \( 4\,x + 12 \) och \( 3\,x^2 + 5\,x - 16 \) som polynom.

I Matte C-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än 2. Vi tar exemplet från övning 6 i förra avsnitt 1.1 Ekvationer och gör om ekvationen där till polynomfunktionen\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \] vars graf ser ut så här:

Som man ser är grafen mer komplicerad än parabeln. Den har mer minima och maxima och mer nollställen som inte av en tillfällighet är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen \( x^4 - 29\;x^2 = -100 \) i övning 6 (förra avsnitt 1.1 Ekvationer). Vi gjorde ju om ekvationen från övning 6 till funktionen ovan så att ekvationens lösningar blev funktionens nollställen. Det känns naturligt att kalla polynomet \( x^4 - 29\;x^2 + 100 \) för ett 4:e gradspolynom, vilket leder oss till det allmänna begreppet grad av ett polynom.

Ett polynoms grad

Den högst förekommande x-potensen i ett polynom dvs den största exponenten till x bland polynomets alla termer kallas polynomets grad. Den term som innehåller denna högsta x-potens kallas polynomets ledande term. Den ledande termens grad är polynomets grad.

I exemplet ovan har polynomet

\( x^4 - 29\;x^2 + 100 \)

graden 4 eftersom den högst förekommande x-potensen har exponenten 4. Den ledande termen är \( x^4 \).

Generellt har ett polynom av graden n följande form:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

Den ledande termen är \( a_n \cdot x^n \) och den konstanta termen är \( a_0 \). Även om det ur ren beräkningssynpunkt är helt irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer, brukar man, för att hålla sig till en bra struktur, börja med den ledande termen, skriva termerna i avtagande exponentordning och avsluta med den konstanta termen.

Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet. Ett exempel på hur kompexiteten växer med graden (från 0 till 5) är följande sex polynom med sina grafer ritade i samma koordinatsystem.

Dessa polynom är relaterade till varandra med en formel som vi ska titta på när vi lärt oss att räkna med polynom.

De heter Chebyshevpolynom av 2:a slag och kallas efter den ryske matematikern Chebyshev som presenterade dem 1854.

Ett polynoms värde

Till skillnad från graden - varje polynom har en och endast en fördefinierad grad - har ett polynom inte något givet värde för sig utan endast ett värde för något spcificerat x. Tar vi t.ex. ett av polynomen ovan, säg det 3:e gradspolynomet\[ U_3(x) = 8\,x^3 - 4\,x \]

kan vi beräkna dess värde för \( x = 0,5 \) så här\[ U_3(0,5) = 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \]

Man säger att \( -1 \) är polynomets värde för x = 0,5 vilket bekräftas av grafen ovan där förloppet för polynomet \( U_3(x) \) visas, se grön kurva med n = 3. Man ser att ett polynoms värde beräknas exakt på samma sätt som en funktions värde: Man sätter in ett värde för x i polynomets alla termer och beräknar enligt föreskrift polynomets värde. Det är inte konstigt, för ett polynom är också en funktion när det tilldelas ett y eller som ovan \( U_3(x) \). Av funktionsbegreppet framgår också följande:

För varje x-värde får man endast ett värde för polynomet. Däremot kan det bli att man för två olika x-värden får samma polynomvärde. T.ex. får vi samma värde 0 för polynomet \( U_2(x) = 4\,x^2 - 1 \) både för \( x = 0,5 \) och \( x = -0,5 \). Jämför med grafens blå kurva \( U_2(x) \) med n = 2.

Att räkna med polynom

Summan (resultat av addition), differensen (resultat av subtraktion) och produkten (resultat av multiplikation) av två (eller flera) polynom är igen ett polynom, därför att summan, differensen och produkten av två (eller flera) termer är igen en eller flera termer. Man räknar med polynom precis på samma sätt som man gör det med uttryck därför att polynom är en speciell form av uttryck.

Exempel 1

Två polynom är givna\[ P_1(x) = 6\,x^2 + 2\,x - 3 \] och \( P_2(x) = -6\,x^2 - 3\,x + 4 \). Bilda deras summa, differens och produkt.

Summa:

\( P_1(x)\,+\,P_2(x) = (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,+\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,-\,6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4 = -\,x\,+\,1 \)

Differens:

\( P_1(x)\,-\,P_2(x) = (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,-\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = 6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3\,+\,6\,x^2\,+\,3\,x\,-\,4 = 12\,x^2\,+\,5\,x\,-\,7 \)

Produkt:

\( P_1(x)\,\cdot\,P_2(x) = (6\,x^2\,+\,2\,x\,-\,3)\,\cdot\,(-6\,x^2\,-\,3\,x\,+\,4) = -36\,x^4\,-\,18\,x^3\,+\,24\,x^2\,-\,12\,x^3\,-\,6\,x^2\,+\,8\,x\,+\,18\,x^2\,+\,9\,x\,-\,12 = -36\,x^4\,-\,30\,x^3\,+\,36\,x^2\,+\,17\,x\,-\,12 \)

Det som gjordes ovan är att först lösa upp parentserna och sedan sammanfoga de termer som går att sammanfoga, dvs de termer som har samma exponent. Att lösa upp parentserna innebär i additionsexemplet att ta bort parentserna utan åtgärd. Vid subtraktion däremot måste man vända om alla förtecken i den parentes som minustecknet står framför, allt enligt algebrans lagar för \( + \) och \( - \) . Vid multiplikation multipliceras varje term i den första parentesen in i den andra parentesen, dvs med alla termer i den, allt enligt algebrans distributivlag.

Som man ser blir alla resultat polynom. Vid addition och subtraktion blir resultatens grad samma eller mindre än utgångspolynomen. I additionsexemplet blir graden mindre eftersom de kvadratiska termerna tar ut varandra. Multiplikationen däremot förstorar graden. I vårt exempel är faktorerna \( P_1(x) \) och \( P_2(x) \) 2:a gradspolynom medan deras produkt blir av graden 4. Generellt gäller det att produktens grad blir \( m \cdot n \) om faktorernas grader är \( \displaystyle m \) och \( \displaystyle n \).

Exempel 2

Här ska vi ta upp de Chebyshevpolynomen som vi introducerade ovan (se tabellen under rubriken "Ett polynoms grad"). Nu när vi lärt oss att räkna med polynom kan vi ta fram Chebyshevpolynomen med hjälp av följande formel:

\[ U_n(x) = 2\,x\;\cdot\;U_{n-1}(x)\,-\,U_{n-2}(x) \]

Formeln ger oss möjligheten att ställa upp ett polynom med hjälp av de två föregående om vi ser på Chebyshevpolynomen i tabellen ovan som en följd av polynom där varje polynom har ett nummer. I princip kan man ställa upp alla Chebyshevpolynom med denna formel utgående från de två första. Låt oss börja med att ställa upp det tredje (OBS! n = 2) med hjälp av de två första (n = 0 och 1)\[ \displaystyle U_0(x) = 1 \]

\( U_1(x) = 2\,x \)

För n = 2 ger formeln ovan\[ U_2(x) = 2\,x\;\cdot\;U_1(x)\,-\,U_0(x) = 2\,x\;\cdot\;2\,x\,-\,1 = 4\,x^2\,-\,1 \]

Sedan kan vi få fram \( U_3(x) \) genom att att sätta in n = 3 i formeln ovan\[ U_3(x) = 2\,x\;\cdot\;U_2(x)\,-\,U_1(x) = 2\,x\;\cdot\;(4\,x^2\,-\,1)\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,2\,x\,-\,2\,x = 8\,x^3\,-\,4\,x \]

För n = 4 ger formeln ovan \( U_4(x) \) osv.\[ U_4(x) = 2\,x\;\cdot\;U_3(x)\,-\,U_2(x) = 2\,x\;\cdot\;(8\,x^3\,-\,4\,x)\,-\,(4\,x^2\,-\,1) = 16\,x^4\,-\,8\,x^2\,-\,4\,x^2\,+\,1 = 16\,x^4\,-\,12\,x^2\,+\,1 \]

Så här kan man fortsätta för att få fram alla Chebyshevpolynom. Eftersom metoden som används bygger på att räkna ett polynom från de två föregående kallar man den för rekursiv och formeln ovan för polymens rekursionsformel. Man säger att formeln definierar Chebyshevpolynom rekursivt.

Hur är det med division av polynom?

Till skillnad från addition, subtraktion och multiplikation av två (eller flera) polynom som alltid ger ett polynom, ger division av två polynom inte alltid ett polynom. Det enklaste exemplet är: