1.2 Repetition Faktorisering & Vieta från Matte 2
| Repetition Faktorisering & Vieta | Teori | Övningar | Fördjupning | Internetlänkar |
Innehåll
Faktorisering
Du kommer väl ihåg att
- \[ a \cdot b \]
är en produkt vars ingredienser \(a\,\) och \(b\,\) kallas faktorer. T.ex. är produkten
- \[ 3 \cdot 4 \]
en faktorisering av talet 12:
- \[ 12 \, = \, 3 \cdot 4 \]
Faktorisering betyder alltså omvandling till en produkt. Analog till faktorisering av heltal kan även polynom faktoriseras.
Faktorisering av polynom innebär att skriva om polynomet, som ursprungligen är en summa av termer, till en produkt. T.ex.:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]
Att detta är sant ser man genom att gå baklänges dvs utveckla högerledet:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Alla polynom kan faktoriseras (om man även tillåter komplexa tal) dvs delas upp i sina linjära beståndsdelar av typ \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) som i exemplet ovan. Men hur gör man det? För en liten klass av 2:a gradspolynom har vi i Matte 2 redan gjort det genom att använda kvadrerings- och konjugatreglerna baklänges.
+++
Till vänster om likhetstecknet har vi ett polynom som en summa av termer. Till höger står samma polynom som en produkt av faktorer dvs i faktorform. Detta polynom i faktorform är resultat av faktorisering. Ingredienserna i faktorformen dvs faktorerna \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \) är i sin tur polynom, fast av mindre grad, nämligen 1. Ursprungspolynomet är av grad 2, liknande faktorerna 3 och 4 som är mindre än 12. Man har splittrat upp det hela i sina beståndsdelar: talet 12 i sina beståndsdelar 3 och 4 och polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) i sina beståndsdelar \( (x-3)\, \) och \( (x-4)\, \).
Men hur får man fram faktorformen från polynomet? Dvs hur faktoriserar man ett polynom? Frågan är relevant av olika skäl: För det första tillåter faktorformen förkortning och därmed förenkling av komplexa algebraiska uttryck. För det andra avslöjar faktorformen polynomets nollställen. Du kommer väl ihåg att sådana x för vilka polynomets värde är 0, kallas för polynomets nollställen. För att förstå varför faktorisering avslöjar polynomets nollställen sätter vi polynomet \( x^2 - 7\,x + 12 \) till 0 och får följande ekvation:
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) = 0 \]
Denna ekvation är en inbjudan att söka de tal x för vilka polynomets värde är 0. Därför är denna ekvations lösningar identiska med polynomets nollställen, vare sig man skriver polynomet som en summa av termer eller i faktorform. Faktorformen \((x-3) (x-4) \) har dock den stora fördelen att man kan se lösningarna till ekvationen ovan utan att behöva räkna. Det är nollproduktmetoden som gör detta möjligt. Den visar nämligen att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \): För att produkten \( (x-3) (x-4) \) ska vara lika med 0 måste antingen den första faktorn \( (x-3) \) eller den andra faktorn \( (x-4) \) vara lika med 0. För att \( (x-3) \) eller \( (x-4) \) ska vara lika med 0 måste \( x \) antingen vara lika med 3 eller lika med 4. Detta i sin tur innebär att 3 och 4 är lösningar till ekvationen \( (x-3) (x-4) = 0 \). Å andra sidan måste pga likheten mellan polynom och dess faktorform 3 och 4 även vara polynomets nollställen dvs lösningar till ekvationen ovan. Men vad gör man om man inte än har faktorformen?
Vietas formler - samband mellan koefficienter och nollställen
Vi åter anknyter till exemplet som vi behandlade inledningsvis (Polynom i faktorform) genom att utveckla produkten:
- \[ (x-3) \cdot (x-4) = x^2 - 4\,x - 3\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 = x^2 - 7\,x + 12 \]
Att vi i mellanräkningen, till synes onödigt, skriver \( x^2 - (3+4)\,x + 3 \cdot 4 \) beror på att vi vill förtydliga sambandet mellan polynomets koefficienter -7 och 12 å ena sidan och dess nollställen 3 och 4 å andra sidan: x-termens koefficient -7 är summan av nollställena 3 och 4 med omvänt förtecken. Polynomets konstanta term 12 är produkten till nollställena 3 och 4. Dvs vi har följande samband mellan polynomets koefficienter och dess nollställen:
- \[ 3 + 4 = 7 \qquad {\rm och} \qquad 3 \cdot 4 = 12 \]
Detta ger oss ett verktyg i handen att bestämma polynomets nollställen med hjälp av dess koefficienter. Du skulle kunna roa dina vänner genom att låta dem säga två tal, t.ex. 3 och 4, och omedelbart skriva upp 2:a gradsekvationen
- \[ x^2 - 7\,x + 12 = 0 \]
Sedan kan du låta dina vänner lösa ekvationen. De kommer att få just dessa två tal som lösningar. För att bilda ekvationen behöver du bara summera talen och sätta summan med omvänt förtecken framför x samt multiplicera talen med varandra och använda produkten som 2:a gradsekvationens konstanta term. Prova gärna med andra tal. Det kommer alltid att stämma, vilket inte är något trolleri utan resultat av följande generell matematisk sats:
Sats (Vietas formler):
- Om 2:gradspolynomet \( x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Bevis:
Genom att använda satsen som vi formulerade i slutet av förra paragrafen (Faktorisering med 2 nollställen) kan vi skriva:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]
Om vi nu utvecklar produkten på höger sidan kan vi skriva vidare:
- \[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) = x^2 - x_2\,x - x_1\,x + x_1 \cdot x_2 = x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \]
En jämförelse av koefficienterna mellan polynomet \( x^2 - (x_1+x_2)\,x + x_1 \cdot x_2 \) (högerled) och polynomet \( x^2 + p\,x + q \) (vänsterled) ger:
- \[ x_1 + x_2 = -p \qquad {\rm och} \qquad x_1 \cdot x_2 = q \]
Vad som skulle bevisas (V.s.b.).
Denna sats kan generaliseras ytterligare till polynom av högre grad än 2. Den franske matematikern François Viète var en av de första som såg sambandet mellan ett polynoms koefficienter och dess nollställen. Därför kallas formlerna \( x_1 + x_2 = -p\, \) och \( x_1 \cdot x_2 = q \) efter honom Vietas formler.
Er stor fördel av Vietas formler för oss är att man kan lösa 2:a gradsekvationer och därmed faktorisera polynom utan att behöva använda lösningsformeln. Detta innebär mindre räknearbete vilket i sin tur minskar risken för felräkning. På köpet går det fortare att ta fram faktorisering av polynom.
Exempel 1
Ta ekvationen
\( x^2 - 7\,x + 10 = 0 \)
För lösningarna \( x_1\,\) och \( x_2\,\) måste enligt Vietas formler gälla\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-7) = 7 \\ x_1 \cdot x_2 & = 10 \end{align}\]
Vi måste alltså hitta två tal vars produkt är 10 och vars summa är 7. Med lite provande hittar man 2 och 5 eftersom \( 2 + 5 = 7\, \) och \( 2 \cdot 5 = 10 \). Prövning bekräftar resultatet\[ 2^2 - 7\cdot 2 + 10 = 4 - 14 + 10 = 0 \]
\( 5^2 - 7\cdot 5 + 10 = 25 - 35 + 10 = 0 \)
Har vi på det här enkla sättet hittat nollställena till polynomet \( x^2 - 7\,x + 10 \) kan vi faktorisera det\[ x^2 - 7\,x + 10 = (x - 2) \cdot (x - 5) \]
Utveckling av produkten på höger sidan bekräftar faktoriseringen.
Exempel 2
Till ekvationen
\( x^2 - 6\,x + 9 = 0 \)
ger Vietas formler\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-6) = 6 \\ x_1 \cdot x_2 & = 9 \end{align}\]
Man hittar lösningarna \( x_1 = 3\,\) och \( x_2 = 3\,\) eftersom \( 3 + 3 = 6\,\) och \( 3 \cdot 3 = 9 \).
Därför kan polynomet \( x^2 - 6\,x + 9 \) faktoriseras så här\[ x^2 - 6\,x + 9 = (x - 3) \cdot (x - 3) = (x - 3)^2 \]
Det intressanta med detta exempel är att vi endast har en lösning x = 3 till 2:a gradsekvationen \( x^2 - 6 x + 9 = 0 \). Fast, om vi tittar på faktorformen \( (x - 3) (x - 3) = 0 \) kan man lika bra säga att vi har två identiska lösningar - en filosofisk skillnad som man matematiskt brukar lösa upp genom att kalla lösningen för en dubbelrot.
En nackdel
En nackdel med Vietas formler är att man kan råka ut för sådana relationer mellan nollställen och koefficienter att det i praktiken blir svårt att få fram lösningarna direkt. I så fall måste man återgå till p-q formeln. Ett exempel är\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]
Vietas formler ger \[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]
Det är inte så enkelt att få fram lösningarna \( x_1\, \) och \( x_2\, \) ur dessa relationer.
Med p-q formeln får man (se lösningen till övning 10 b))\[\begin{align} x_1 & = 12,84428877 \\ x_2 & = 0,15571123 \\ \end{align}\]
I efterhand kan vi ändå verifiera Vietas formler eftersom de är generella\[ \begin{align} 12,84428877 + 0,15571123 & = 13 \\ 12,84428877 \cdot 0,15571123 & = 2 \end{align}\]
