1.1 Polynom

Teori

Övningar

Vad är ett polynom?

Ordet "poly" betyder på latin många och "nom" som egentligen betyder namn, har i matematiken innebörden term. Så "polynom" betyder många termer. Närmare bestämt är ett polynom en summa av många termer. Men vad exakt är en term och hur ser den ut? När man pratar om polynom menar man med term ett uttryck av formen:

\[ a \cdot x^n \]

där n är ett positivt heltal eller 0. Dvs n får varken vara negativt eller ett bråk (decimaltal). Talet a kallas kofficient och är en godtycklig men fast konstant. x däremot är en variabel som kan anta vilka värden som helst. Ett exempel på en term är:

\[ 8 \cdot x^3 \]

Om ett polynom ska vara en summa av många sådana termer då måste polynom vara en speciell form av ett uttryck. Och tilldelar man det till ett y då blir det en speciell form av en funktion, därför att varje term innehåller variabeln x. Samma sak gäller förstås för en summa av termer. Polynom är faktiskt, när det tilldelas ett y, en typ av funktion, närmare bestämt en generalisering samt utvidgning av de funktionstyper vi sysslat hittills med. I Matte A-kursen hade vi bara linjära eller 1:a gradsfunktioner av typ\[ y = 4\,x + 12 \]

Här förekommer \( x \) högst som 1:a gradspotens dvs med exponenten 1. Grafen är en rät linje. I Matte B-kursen gick vi ett steg vidare och sysslade med 2:a gradsfunktioner av typ\[ y = 3\,x^2 + 5\,x - 16 \]

Här är den högsta exponenten till \( x \) 2. Grafen är en parabel. Redan dessa funktioner är polynom utan att vi kallade dem så, därför att de är summor av termer som uppfyller de villkor som vi införde för n - nämligen att vara ett positivt heltal eller 0. Om du har det svårt att se varför även konstanterna -16 och 12 i exemplen ovan kan anses som "termer" i den inledningsvis definierade bemärkelsen, kom ihåg att man kan skriva -16 som:

\[ -16 \cdot x^0 \]

Att man kan göra så beror på att enligt potenslagarna \( x^0 \) är lika med 1. Samma sak gäller för 12 som också är en term därför att 12 är lika med \( 12\,x^0 \). Därmed har vi identifierat både \( 4\,x + 12 \) och \( 3\,x^2 + 5\,x - 16 \) som polynom.

I Matte C-kursen ska vi nu lära oss att hantera även polynom av högre grad än 2 som t.ex.\[ y = x^4 - 29\;x^2 + 100 \] vars graf ser ut så här:

Som man ser är grafen mer komplicerad än parabeln. Framför allt har den mer minima och maxima och mer nollställen som inte av en tillfällighet är identiska med lösningarna till 4:e gradsekvationen \( x^4 - 29\;x^2 = -100 \) i övning 6 (förra avsnitt 1.1 Ekvationer). Det känns naturligt att kalla polynomet \( x^4 - 29\;x^2 + 100 \) för ett 4:e gradspolynom, vilket leder oss till det allmänna begreppet grad av ett polynom.

Ett polynoms grad

Den högst förekommande x-potensen i ett polynom dvs den största exponenten till x bland polynomets alla termer kallas polynomets grad. Den term som innehåller denna högsta x-potens kallas polynomets ledande term.

I exemplet ovan har polynomet

\( x^4 - 29\;x^2 + 100 \)

graden 4 eftersom den högst förekommande x-potensen har exponenten 4. Den ledande termen är \( x^4 \).

Generellt har ett polynom av graden n följande form:

\[ a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \quad . . . \quad + a_1 \cdot x + a_0 \]

Den ledande termen är \( a_n \cdot x^n \) och den konstanta termen är \( a_0 \). Även om det ur ren beräkningssynpunkt är helt irrelevant i vilken ordning man skriver ett polynoms termer, brukar man ändå börja med den ledande termen, skriva termerna i avatagende exponentordning och avsluta med den konstanta termen.

Ett polynoms grad är ett mått på dess kompexitet. Ett exempel på hur kompexiteten växer med graden är följande sex polynom med sina grafer ritade i samma koordinatsystem. Deras grader går från 0 till 5:

Ett polynoms värde

Till skillnad från graden - varje polynom har en och endast en fördefinierad grad - har ett polynom inte något givet värde för sig utan endast ett värde för något spcificerat x. Tar vi t.ex. ett av polynomen ovan, säg det 3:e gradspolynomet\[ U_3(x) = 8\,x^3 - 4\,x \]

kan vi beräkna dess värde för \( x = 0,5 \) så här\[ U_3(0,5) = 8 \cdot 0,5^3 - 4 \cdot 0,5 = 8 \cdot 0,125 - 2 = 1 - 2 = -1 \]

Man säger att \( -1 \) är polynomets värde för x = 0,5 vilket bekräftas av grafen ovan där förloppet för polynomet \( U_3(x) \) visas, se grön kurva med n = 3. Man ser att ett polynoms värde beräknas exakt på samma sätt som en funktions värde: Man sätter in ett värde för x i polynomets alla termer och beräknar enligt föreskrift polynomets värde. För varje x-värde får man endast ett polynomvärde. Däremot kan det bli - och det är tillåtet - att man för två olika x-värden får samma polynomvärde. T.ex. får vi för polynomet \( U_2(x) = 4\,x^2 - 1 \) samma värde 0 för både \( x = 0,5 \) och \( x = -0,5 \). Jämför med grafens blå kurva \( U_2(x) \) med n = 2.

Ett polynoms värde för ett visst x är samma sak som en funktions värde för detta x. Det är inte konstigt, för ett polynom är också en funktion när det tilldelas ett y eller som ovan \( U_3(x) \).

Addition och subtraktion av polynom

Summan av två (eller flera) polynom är igen ett polynom. Anledningen är att summan av två (eller flera) termer är igen en eller flera termer. Eftersom ett polynom, när det inte tilldelas en annan variabel, är ett uttryck adderas polynom precis på samma sätt som uttryck adderas. T.ex.:

Multiplikation av polynom

Produkten av två (eller flera) polynom är igen ett polynom. Anledningen är att Produkten av två (eller flera) termer är igen en term. Eftersom ett polynom, när det inte tilldelas en annan variabel, är ett uttryck multipliceras polynom precis på samma sätt som uttryck multipliceras. T.ex.:

Internetlänkar

http://www.youtube.com/watch?v=doxCjrqxoRM

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol7/order_operations.html

http://math.about.com/gi/dynamic/offsite.htm?site=http://www.funbrain.com/algebra/