1.3 Lösning 10b

Uppgiften gick ut på att fullständigt faktorisera ett 3:e gradspolynom som var delvis faktoriserat\[ x^3 - 17\,x^2 + 54\,x - 8 = (x-4) \cdot Q(x) \]

I 10 a) hade vi bestämt \( Q(x)\, \) till\[ Q(x) = x^2 - 13\,x + 2 \]

För att fullständigt faktorisera 3:e gradspolynomet måste även \( Q(x)\, \) faktoriseras. Därför sätter vi upp ekvationen\[ x^2 - 13\,x + 2 = 0 \]

Vietas formler ger\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = -(-13) = 13 \\ x_1 \cdot x_2 & = 2 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 2\,\) och \( x_2 = 3\,\) eftersom \( 2 + 3 = 5\,\) och \( 2 \cdot 3 = 6 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 5\,x + 6 \) faktoriseras så här\[ x^2 - 5\,x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) \]

Inför vi nu detta resultat i vår ansats för faktoriseringen av \( P(x)\, \) i början\[ P(x) = x^3 - 9\,x^2 + 26\,x - 24 = Q(x) \cdot (x-4) \]

får vi faktoriseringen av \( P(x)\, \)\[ P(x) = (x^2 - 5\,x + 6) \cdot (x-4) = (x-2)\,\cdot\,(x-3)\,\cdot\,(x-4) \]