Logaritmlagarna

Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här av praktiska skäl är vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal.

Bevis av logaritmlagarna

Lagarna ovan gäller för vilken bas som helst. Istället för \( \lg\, \) skulle kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen. Därför skriver vi upp lagarna och för vi bevisen mera generellt med \( \log\, \).

Logaritmlag 1:

\[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]

Bevis:

Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden:

\[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.

Logaritmlag 2:

\[ \log\,{A \over B} \; = \; \log A - \log B \]

Bevis:

Beviset är i sin struktur identiskt med beviset av logaritmlag 1. Den andra potenslagen logaritmeras:

\[ {a^x \over a^y} \; = \; a^{x-y} \]

\[ \log_a {a^x \over a^y} \; = \; \log_a a^{x-y} \; = \; x \, - \, y \; = \; \log_a a^x \, - \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a {A \over B} \; = \; \log_a A \, - \, \log_a B \]

Utan några speciella förutsättningar för \( a\, \) gäller likheten ovan för alla baser \( a\, \). Därmed följer påståendet.

Påstående (Rationell exponent):

\[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]

Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:

\[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).