1.6 Aritmetisk summa och summatecknet
| << Förra avsnitt | Innehållsförteckning | Genomgång | Övningar | Nästa avsnitt >> |
Aritmetisk summa = Summan av en aritmetisk talföljd
Summatecknet \( \; \sum \; \)
Den stora bokstaven Sigma i det grekiska alfabetet används i matematiken som symbol för summa.
Man gör det för att kunna skriva långa summor på ett kompakt sätt.
Rutan ovan skulle \(-\) skriven med summatecknet \(-\) se ut så här:
\( \quad s_n \, = \, \displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k \; \), där \( \; a_n \; \) är en aritmetisk följd. \( \quad \)
- \[ \; \boxed{ \; s_n \, = \, \displaystyle\frac_{n\,(a_1 + a_n)}^{2} \; } \; \]
Om ett större antal termer ska adderas, kan summan skrivas med hjälp av summasymbolen Σ; den stora bokstaven sigma i det grekiska alfabetet. Joseph Fourier införde sigma som symbol för summation 1820.<ref>Concrete Mathematics, sid. 22</ref> Istället för att skriva det långa talet \(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20\) kan man använda summasymbolen samman med uteslutningstecken (\(\ldots\)) och skriva: \[\sum_{k=1}^{20} k = 1 + 2 + 3 + \ldots + 19 + 20\] Detta utläses: "Summa k, då k går från ett till tjugo". Termen k efter sigmatecknet kallas summand. Vill man skriva summan av alla heltal från och med 7 till och med 23 skriver man: \[\sum_{k=7}^{23} k = 7 + 8 + 9 + \ldots + 22 + 23\] Vill man summera kvadraterna av alla tal från 1 till 5 skriver man: \[\sum_{k=1}^5 k^2 = 1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55\] Ibland skrivs summationsgränserna vid sidan av summatecknet för att spara plats, exempelvis i bråk: \[\frac{\sum_{k=1}^{20} k^2}{\sum_{j=1}^{20} j^3}\]
Allmänt, givet en talföljd \(a_k\) som man vill summera från 1 till n skriver man: \[\sum_{k=1}^n a_k\,\] Summan ovan kan även skrivas \[\sum_{1 \leq k \leq n} a_k\,\] Rent allmänt används summatecknet för att summera en följd av tal \(a_k\) där k ska uppfylla något villkor \(P(k)\), vilket skrivs \[\sum_{P(k)} a_k\,\] Exempelvis kan \(P(k)\) vara villkoret att k är ett primtal eller ett udda tal.
Copyright © 2024 Lieta AB. All Rights Reserved.
