1.2 Fördjupning till Faktorisering av Polynom

Repetition: Faktorisering

Genomgång

Övningar

Fördjupning

Nästa avsnitt -->

<-- Förra avsnitt

Lektion 3 Faktorisering av polynom

Lektion 4 Faktorisering av polynom: Fördjupning

Det allmänna fallet (icke-normalform)

Alla våra hittills behandlade polynom var i normalform. Den s.k. ledande koefficienten, dvs den kvadratiska termens koefficient eller talet framför \(x^2\,\), var alltid \(1\,\). Det behöver inte alltid vara så.

Exempel 1

Låt oss t.ex. faktorisera följande polynom med ledande koefficienten \(3\,\):

\[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 \]

Lösningen består i att återföra problemet till den kända typen i normalform genom att bryta ut den ledande koefficienten:

\[ 3\,x^2 - 6\,x - 9\,=\,3 \cdot {\color{Red} {(x^2 - 2\,x - 3)}}\,=\,3 \cdot {\color{Red} {(x-x_1) \cdot (x-x_2)}} \]

Vi faktoriserar först det nya polynomet \( {\color{White} x} {\color{Red} {x^2 - 2\,x - 3}} {\color{White} x} \) som är i normalform enligt ovan.

För att få fram \( x_1\,\) och \( x_2\,\) ställer vi upp 2:a gradsekvationen och använder Vietas formler:

\[ \begin{align} {\color{Red} {x^2 - 2\,x - 3}} & = 0 \\ x_1 + x_2 & = -(-2) = 2 \\ x_1 \cdot x_2 & = -3 \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 3\,\) och \( x_2 = -1\,\) eftersom \( 3 + (-1) = 2\,\) och \( 3 \cdot (-1) = -3 \).

Därför kan polynomet \( x^2 - 2\,x - 3 \) faktoriseras så här:

\[ x^2 - 2\,x - 3 = (x - 3) \cdot (x + 1) \]

Går vi tillbaka och sätter in denna lösning i det ursprungliga problemets ansats får vi det ursprungliga polynomets faktorisering:

\[ 3\,x^2 - 6\,x - 9 = 3\,(x^2 - 2\,x - 3) = 3\,(x-3) \cdot (x+1) \]

Den ovan beskrivna metoden fungerar alltid när 2:a gradspolynomet har ett eller två nollställen. Har det däremot inget nollställe alls finns det inte heller någon faktorisering.

Exempel 2

Vad gör man om den ledande koefficienten "inte går att bryta ut" eftersom den inte delar de andra koefficienterna jämnt? Man gör det ändå och går över till tal i bråkform. Det finns nämligen ingen begränsning varken för polynomets nollställen eller koefficienter, när det gäller taltypen: De kan vara heltal, som var fallet hittills i våra exempel, men även bråk- eller decimaltal. Låt oss t.ex. faktorisera följande polynom med en ledande koefficient som inte delar de andra koefficienterna jämnt:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 \]

Vi bryter ut 7 och skriver det nya polynomets koefficienter i bråkform:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = 7\,(x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7}) = 7\,(x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

För att få fram \( x_1\,\) och \( x_2\,\) använder vi Vietas formler:

\[ \begin{align} x_1 + x_2 & = {5 \over 7} \\ x_1 \cdot x_2 & = - {2 \over 7} \end{align}\]

Man hittar lösningarna \( x_1 = 1\,\) och \( x_2 = -{2 \over 7}\,\) eftersom \( 1 - {2 \over 7} = {5 \over 7} \) och \( 1 \cdot {-2 \over 7} = {-2 \over 7} \).

Så får vi det nya polynomets faktorisering:

\[ x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7} = (x - 1) \cdot (x + {2 \over 7}) \]

Går vi tillbaka och sätter in detta i det ursprungliga problemets ansats får vi det ursprungliga polynomets faktorisering:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = 7\,(x^2 - {5 \over 7}\,x - {2 \over 7}) = 7\,(x - 1) \cdot (x + {2 \over 7}) \]

Vill man i slutet bli av med bråktal kan man multiplicera in 7 i den andra parentesen och skriva faktoriseringen så här:

\[ 7\,x^2 - 5\,x - 2 = (x - 1) \cdot (7\,x + 2) \]

Faktorisering av 3:e och högre gradspolynom

Faktorisering av 2:a gradspolynom är alltid möjlig för oss eftersom vi kan lösa 2:a gradsekvationer. I de fall man lyckas återföra 3:e eller högre gradsekvationer till 2:a gradsekvationer är det även möjligt att faktorisera polynom av högre grad än 2. Ett sådant fall föreligger om man antingen känner till eller t.ex. med hjälp av grafen kan få fram åtminstone en lösning till en 3:e gradsekvation. Låt oss genomföra detta för följande exempel:

Exempel

Faktorisera 3:e gradspolynomet

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 \]

Lösning: För att få fram något av polynomets nollställen ritar vi

grafen till funktionen \( y = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 \)

Grafen visar att polynomet har tre nollställen av vilka ett är ganska tydligt på bilden och kan avläsas till \( x = -1\, \), medan de andra två är mindre tydliga. För att avgöra om detta nollställe är exakt gör vi en prövning genom att sätta in \( x = -1\, \) i polynomet\[ P(-1) = (-1)^3 - 6\,\cdot\,(-1)^2 + 5\,\cdot\,(-1) + 12 = -1 - 6\,\cdot\,1 - 5 + 12 = -1 -6 -5 +12 = -12 +12 = 0 \]

Prövningen visar att \( x = -1\, \) är ett exakt nollställe till \( P(x)\, \). Härav kan vi nu dra slutsatsen att de två andra nollställena måste uppfylla följande ekvation:

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = Q(x) \cdot (x+1) = 0 \]

där \( Q(x)\, \) är ett 2:a gradspolynom som vi inte känner till än.

Denna slutsats baseras på en generell matematisk sats, algebrans fundamentalsats som enkelt uttryckt säger att ett polynom av grad n har n nollställen.

Vi kan med nollproduktmetoden resonera så här: För att produkten \( Q(x) \cdot (x+1)\, \) ska vara lika med 0 måste antingen \( Q(x)\, \) eller \( (x+1)\, \) vara lika med \( 0\, \). Vi vet redan att \( (x+1)\, \) är \( 0\, \) för \( x = -1\, \) som är \( P(x)\, \):s ena nollställe. Alltså måste \( P(x)\, \):s andra två nollställen finnas i \( Q(x)\, \). Med andra ord de andra två nollställen måste vara det 2:a gradspolynomet \( Q(x)\, \):s nollställen.

Kan vi bestämma \( Q(x)\, \), beräkna dess nollställen samt ställa upp dess faktorform, har vi faktoriserat även det 3:e gradspolynomet \( P(x)\, \). Vi har ju redan hittat ett nollställe och ställt upp en ansats till faktoriseringen av \( P(x)\, \) i form av ekvationen ovan.

Vi bearbetar nu vidare denna ansats genom att införa i den för \( Q(x)\, \) den allmänna formen för ett 2:a gradspolynom:

\[ Q(x) = a\,x^2 + b\,x + c \]

där a, b och c är koefficienter som vi måste bestämma. Sätter vi in denna form i ansasten ovan får vi:

\[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = (a\,x^2 + b\,x + c) \cdot (x+1) \]

Vi vet från förra avsnitt att två polynom är lika med varandra om alla deras motsvarande koefficienter, dvs de som tillhör termer av samma grad, överensstämmer. För att kunna genomföra denna jämförelse av koefficienter utvecklar vi produkten på höger sidan och ordnar termerna:

\[ x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + a\,x^2 + b\,x + c = a\,x^3 + (b+a)\,x^2 + (c+b)\,x + c \]

Jämförelse av koefficienterna på höger- och vänsterled ger:

\[ \begin{align} a & = 1 \\ b + a & = -6 \\ c + b & = 5 \\ c & = 12 \end{align}\]

Genom insättning av \( a = 1\, \) i den andra och \( c = 12\, \) i den tredje ekvationen får vi i båda fall \( b = -7\, \). Därmed har vi bestämt polynomet \( Q(x) \, \):

\[ Q(x) = x^2 - 7\,x + 12 \]

I Faktorisering av 2:a gradspolynom (teoridelen av detta avsnitt) hade vi faktoriserat \( Q(x) \, \) så här:

\[ x^2 - 7\,x + 12 = (x-3) \cdot (x-4) \]

Inför vi nu detta resultat i vår ansats i början får vi faktoriseringen för P(x):

\[ P(x) = x^3 - 6\,x^2 + 5\,x + 12 = Q(x) \cdot (x+1) = (x^2 - 7\,x + 12) \cdot (x+1) = \underline{(x-3)\,\cdot\,(x-4)\,\cdot\,(x+1)} \]

Den ovan beskrivna metoden kan i princip även användas för faktorisering av polynom av högre grad än 3. Anledningen till det är algebrans fundamentalsats som vi redan nämnde tidigare och som lite förenklad lyder så här:

Algebrans fundamentalsats

Ett polynom av grad \( n\, \) har exakt \( n\, \) komplexa nollställen \( x_1, \, x_2, \,\ldots\, , x_n \)och kan faktoriseras så här:

\[ a_n \, x^n \,+\, a_{n-1} \, x^{n-1} + \quad \ldots \quad + a_1 \, x \,+\, a_0 \quad = \quad a_n \cdot\, (x-x_1) \,\cdot\, (x-x_2) \,\cdot\quad\ldots\quad \cdot\, (x-x_n) \]

---

Anmärkningar:

• Egentligen utgör endast den första delen ("Ett polynom av grad \( n\, \) har exakt \( n\, \) komplexa nollställen") algebrans fundamentalsats. Den andra delen om faktorisering är en följd av den.

• Antalet \( n\, \) komplexa nollställen är räknade med multiplicitet, dvs dubbla rötter är räknade två gånger, tredubbla tre gånger osv.

• Den fullständiga faktoriseringen av alla polynom i linjära faktorer \( (x-x_i)\, \) där \( x_i\, \) = nollställe, är endast möjlig i mängden av komplexa tal. Räknar man endast med reella tal kommer vissa polynom att faktoriseras till linjära och kvadratiska faktorer, där de kvadratiska faktorerna har komplexa rötter.

Exempel 1

Faktorisera följande polynom fullständigt\[ P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 \]

I övning 6 till repetitionsavsnittet Ekvationer hade vi löst 4:e gradsekvationen

\( x^4 - 29\;x^2 = -100 \)

och fått lösningarna

\( x_1 = 5, \qquad x_2 = -5, \qquad x_3 = 2 \quad {\rm och} \quad x_4 = -2 \)

Vi kan skriva ekvationen som en polynomekvation

\( P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 = 0 \)

Pga kännedomen om ekvationens lösningar som är identiska med polynomets nollställen, kan vi enligt algebrans fundamentalsats faktorisera 4:e gradspolynomet \( P(x)\, \) så här\[ P(x) = x^4 - 29\;x^2 + 100 = (x-5) \cdot (x+5) \cdot (x-2) \cdot (x+2) \]

Exempel 2

Faktorisera polynomet \( P(x)\, \) fullständigt när följande delfaktorisering redan existerar:

\[ P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 = x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x^2 - 4\,x + 13) \]

Delfaktoriseringen visar en dubbelrot \( x = 0\, \) och en enkel rot \( x = 1\, \). Man kan få fram den med de metoder vi lärt oss i detta avsnitt: Den dubbla roten \( x = 0\, \) får man genom att bryta ut \( x^2 \). Den enkla roten \( x = 1\, \) kan man få via grafen samt en prövning. Den sista faktorn kan beräknas med hjälp av jämförelse av koefficienter. Denna delfaktorisering stannar inom ramen av de reella talen.

Enligt algebrans fundamentalsats måste 5:e gradspolynomet \( P(x)\, \) ha två rötter till som ger upphov till den kvadratiska faktorn \( x^2 - 4\,x + 13 \) som står sist.

Vill man gå vidare och få fram den fullständiga faktoriseringen i linjära faktorer måste även den kvadratiska faktorn faktoriseras. Detta innebär att vi måste beräkna dess rötter som visar sig vara komplexa:

\[\begin{array}{rcl} x^2 - 4\,x + 13 & = & 0 \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{4 - 13} \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{-9} \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{9 \cdot (-1)} \\ x_{1,2} & = & 2 \pm \sqrt{9}\cdot \sqrt{-1} \\ x_1 & = & 2 + 3\,i \\ x_2 & = & 2 - 3\,i \\ \end{array}\]

Vi får alltså följande faktorisering av den kvadratiska faktorn:

\[ x^2 - 4\,x + 13 = (x - (2+3\,i)) \cdot (x - (2-3\,i)) = (x - 2-3\,i) \cdot (x - 2+3\,i)\]

Därmed blir den fullständiga faktoriseringen av polynomet \( P(x)\, \) i linjära faktorer:

\[ P(x) = x^5 - 5\,x^4 + 17\,x^3 - 13\,x^2 = x\cdot x\cdot (x-1)\cdot (x - 2-3\,i) \cdot (x - 2+3\,i) \]

Dvs \( P(x)\, \) har förutom dubbelroten \( x = 0\, \) och den enkla roten \( x = 1\, \) även de två komplexa rötterna \( x = 2 + 3\,i \) och \( x = 2 - 3\,i \). Sammanlagt har 5:e gradspolynomet \( P(x)\, \) exakt 5 rötter, om man räknar rötterna med multiplicitet, dvs den dubbla rotter dubbelt och beräknar även de komplexa rötterna - i enlighet med algebrans fundamentalsats.

Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.