3.3 Terasspunkter
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | --> Nästa avsnitt |
Innehåll
Även i detta avsnitt menar vi med maxima och minima alltid lokala maxima och minima och kommer därför att utelämna ordet lokalt.
Dessutom upprepar vi förutsättningen att alla behandlade funktioner \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) skall vara kontinuerliga i alla punkter av det betraktade området.
Terasspunkter
I förra avsnitt lärde vi oss två metoder för att hitta en funktions maxima eller minima:
1. Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) \( {\color{White} {xx}} \) och \( {\color{White} {xx}} \) andraderivatan \( \, < \, 0 \, \) eller \( \, > \, 0 \, \) dvs \( \, \neq \, 0 \, \).
2. Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) \( {\color{White} {xx}} \) och \( {\color{White} {xx}} \) derivatan byter tecken kring sitt nollställe.
Båda metoder utesluter följande alternativ:
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) \( {\color{White} {xx}} \) och \( {\color{White} {xx}} \) andraderivatan \( \, = \, 0 \, \).
- Funktionens derivata \( \, = \, 0 \, \) \( {\color{White} {xx}} \) och \( {\color{White} {xx}} \) derivatan inte byter tecken kring sitt nollställe.
Dessa alternativ tar vi upp nu: Vad händer om funktionens derivata och andraderivata är \( \, 0 \, \) eller om derivatan är \( \, 0 \, \) och bibehåller sitt tecken kring nollstället?
Ett sådant fall föreligger i följande enkelt exempel:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 \\ f'(x) & = & 3\,x^2 \\ f''(x) & = & 6\,x \end{array}\]
Vi ska undersöka funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) i och kring punkten \( \, x = 0 \, \) genom att titta på följande grafer:
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en extrempunkt i \( x = 0 \), varken ett maximum eller ett minimum. Det handlar snarare om en typ av kritisk punkt som är ny för oss. Kritisk, därför att \(-\) precis som hos extrempunkter \(-\) tangenten till kurvan i denna punkt är horisontell dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Denna nya typ av kritisk punkt kallas terasspunkt.
Bilden i mitten visar att derivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \). Det speciella med detta nollställe är att kurvan inte skär \( \, x\)-axeln utan bara berör den. Med andra ord, \( \, x = 0 \, \) är en dubbelrot till andragradsfunktionen \( \, f'(x) = 3\,x^2 \, \). Detta innebär att derivatan inte byter tecken kring \( \, x = 0 \, \) dvs är positiv både till vänster om och till höger om nollstället. Att derivatan är positiv på båda sidor av sitt nollställe innebär i sin tur att själva funktionen \( \, f(x) = x^3 \, \) är växande både till vänster om och till höger om \( \, x = 0 \, \) \(-\) vilket är ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av derivatans dubbelrot är att andraderivatan är \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \):
Bilden till höger visar att även andraderivatan är \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \). Till skillnad från derivatans nollställe är detta nollställe av enkel typ, vilket framgår av att grafen verkligen skär \( \, x\)-axeln dvs byter tecken kring \( \, x = 0 \, \). I självaste punkten \( \, x = 0 \, \) är andraderivatan varken positiv eller negativ, varav följer att \( \, x = 0 \, \) inte är någon extrempunkt för funktionen \( \, f(x) = x^3 -\) ytterliare ett kännetecken för terasspunkter. En annan konsekvens av att andraderivatans rot är av enkel typ är att tredjederivatan är \( \, \neq 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \):
Vi har inte ritat grafen till tredjederivatan \( \, f'''(x) = 6 \), men den är alltid \( \neq 0 \, \) och därmed även för \( \, x = 0 \, \). Detta är det nya hos terasspunkter: Att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \) är ett nödvändigt villkor för att funktionen ska ha en terasspunkt. Därmed lämnar vi vårt exempel och kommer till det allmänna fallet där det nya villkoret ingår.
Regler om terasspunkter med högre derivator
Tre kriterier behövs för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen, det andra om andraderivatans nollställen och det tredje om att tredjederivatan inte får vara \( \, 0 \, \). Alla tre måste vara uppfyllda. Generellt gäller:
:
Regeln med högre derivator:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'''(a) \, \neq \, 0 {\color{White} x}. \)
Om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, f\,''(a) \, = \, f\,'''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) har funktionen ingen terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \).
I dett fall kan endast ett teckenstudium avgöra den kritiska punktens typ.
För att demonstrera regeln ovan tar vi vårt inledande exempel och undersöker regelns tre kriterier algebraiskt i punkten \( \, x = 0 \):
- \[\begin{array}{rclclcl} f(x) & = & x^3 & & \\ f'(x) & = & 3\,x^2 & \Longrightarrow & f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 & = & 0 \\ f''(x) & = & 6\,x & \Longrightarrow & f''(0) = 6\cdot 0 & = & 0 \\ f'''(x) & = & 6 & \Longrightarrow & f'''(0) = 6 & \neq & 0 \end{array}\]
Vi ser att \( f'(0) = f''(0) = 0 \) och \( f'''(0) \neq 0 \). Enligt regeln ovan drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Regler om terasspunkter med teckenstudium
Alternativt till användning av högre derivator finns det alltid möjligheten att genomföra ett teckenstudium för att känna igen en terasspunkt.
Här finns det två kriterier för att få reda på en funktions terasspunkt: ett om derivatans nollställen och ett om att derivatan inte byter tecken:
:
Regeln med teckenstudium:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en terasspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'(x) {\color{White} x} \) inte byter tecken kring \( \, a \).
Att derivatan inte byter tecken innebär för att den antingen är positiv eller negativ på båda sidor av sitt nollställe.
För att demonstrera regeln med teckenstudium tar vi samma exempel \( \, f(x) = x^3 \, \). Vi hade redan bestämt att derivatan var \( \, 0 \) för \( \, x = 0 \, \):
- \[ f(x) = x^3 \]
- \[ f'(x) = 3\,x^2 \]
Derivatans nollställe är \( \, x = 0 \, \):
- \[ f'(0) = 3\cdot 0^2 = 3\cdot 0 = 0 \]
Nu ska vi undersöka derivatans tecken till vänster och till höger om nollstället \( \, x = 0 \). Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = -0,1 \) och \( \, x = 0,1 \) på \( \, x\)-axeln som är ganska nära derivatans nollställe och bestämmer derivatans tecken i dessa punkter:
- \[ f' (-0,1) = 3\cdot (-0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
- \[ f' (0,1) = 3\cdot (0,1)^2 = 3\cdot 0,01 = 0,03 > 0 \]
Resultaten överförs till följande teckentabell:
| \(x\) | \(-0,1\) | \(0\) | \(0,1\) |
| \( f\,'(x) \) | \(+\) | \(0\) | \(+\) |
| \( \,f(x) \) | ↗ | Terass | ↗ |
Vi ser att \( f\,'(0) = 0 \) och derivatan har tecknet \(+\) till vänster om och \( + \) till höger om \( \, 0 \) dvs är positiv och inte byter tecken kring sitt nollställe. Enligt regeln med teckenstudium drar vi slutsatsen att funktionen \( f(x)\, \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \).
Avgörande för att teckenstudium är en korrekt algebraisk metod är förutsättningen vi gjorde inledningsvis, nämligen att \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) är kontinuerlig i alla punkter av det betraktade området.
Hur grafen kan lura oss
| Vi modifierar det inledande exemplet lite grann
genom att lägga till en term till funktionsuttrycket:
Bilden till höger visar grafen till den här funktionen. Kan man från grafen dra slutsatsen att \( f(x) \) har en terasspunkt i \( \, x = 0 \, \)? Kurvan verkar vara av samma typ som det inledande exemplet \( y = \, x^3 \, \). Speciellt om grafen ritas på en miniräknares lilla display ser man kanske t.o.m. ingen skillnad alls till kurvan \( y = \, x^3 \, \). Den spontana slutsatsen att det här också |
 |
är en terasspunkt är i alla fall inte ovanligt. En liten tvekan kommer upp när man jämför de olika funktionsuttrycken. Men hur kan man få 100 %-ig klarhet om detta?
Det enda sättet att göra det är att tillämpa de algebraiska regler som vi ställde upp inledningsvis \(-\) antingen regeln med högre derivator eller regeln med teckenstudium. Båda kräver bl.a. att derivatan blir \( \, 0 \, \) i \( \, x = 0 \, \). Men det visar sig att detta inte är fallet:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & x^3 + \, 0,5\,x \\ f'(x) & = & 3\,x^2 + \, 0,5 \\ f'(0) & = & 3\cdot 0^2 + \, 0,5 = 3\cdot 0 \, + \, 0,5 = 0 \, + \, 0,5 \, = \, 0,5 \, \neq \, 0 \end{array}\]
Därmed är frågan avgjord: \( f(x) \) har ingen terasspunkt i \( \, x = 0 \, \). Grafen har lurat oss.
Vill man använda grafer borde man först undersöka funktionen med de strikta algebraiska reglerna och sedan rita grafer för att visualisera resultatet. I det här fallet är det lämpligt att även rita tangenten till \( \, f(x) \, \) i \( \, x = 0 \, \). Lägger man till graferna till derivatan och andraderivatan får man en fullständig överblick över funktionens beteende i och kring \( \, x = 0 \, \):
Funktionens graf till vänster visar att det inte föreligger en terasspunkt i \( x = 0 \). Den i samma koordinatsystem ritade tangenten till kurvan i \( x = 0 \) är inte horisontell dvs har inte lutningen \( \, 0 \, \). I beräkningen ovan hade vi fått: \( f'(x) = 0,5 \neq 0 \). Därmed är även tangentens lutning \( \, 0,5 \, \) och dess ekvation: \( y = 0,5\,x \).
Bilden i mitten visar att derivatan inte har något nollställe vilket visar att funktionen varken har extrempunkter eller terasspunkter. Derivatan är alltid positiv och antar i \( x = 0 \) värdet \( \, 0,5 \, \). Om detta värde hade varit \( \, 0 \, \) hade funktionen haft en terasspunkt i \( x = 0 \).
Bilden till höger visar att andraderivatan har ett nollställe i \( \, x = 0 \, \), där grafen skär \( \, x\)-axeln. Vad innebär detta? Vi har inte haft ett sådant fall där derivatan är skild från \( \, 0 \, \), men andraderivatan är \( \, 0 \, \). Därför handlar det om en speciell punkt på kurvan som varken är extrem- eller terasspunkt, för i dessa fall borde ju derivatan vara \( \, 0 \, \). Faktiskt handlar det om en ny typ av punkt som kallas inflexionspunkt.
Inflexionspunkter
Om du börjar köra bil på en S-kurva underifrån svänger du ratten först till vänster tills du kommer till S-kurvans mitt. Sedan byter du svängriktningen och rattar till höger. Den punkt där du byter svängriktningen \(-\) S-kurvans mittpunkt \(-\) kallas inflexionspunkt.
Inflexionspunkter är punkter där kurvan går över från en vänstersväng till en högersväng (sett underifrån) eller tvärtom.
I båda exempel vi behandlat hittills är \( \, x = 0 \, \) en inflexionspunkt, se graferna ovan. I det första exemplet \( \, y = x^3 \, \) är \( \, x = 0 \, \) även en terasspunkt, eftersom tangenten är horisontell. I det andra exemplet \( \, y = x^3 + 0.5\,x \, \) är \( \, x = 0 \, \) ingen terasspunkt, därför att tangenten inte är horisontell. Detta är ett exempel på att terasspunkter är specialfall av inflexionspunkter, nämligen sådana där kurvans tangenter är horisontella dvs har lutningen \( \, 0 \, \). Annars kan tangenter i inflexionspunkter ha vilken lutning som helst. Vi kan dra slusatsen:
| Alla terasspunkter är inflexionspunkter, men inte tvärtom.
På bilden till höger visas ett annat - mer typiskt - exempel på en inflexionspunkt som ligger i \( \, x = 2 \, \). Där går kurvan över från en högersväng till en vänstersväng. Vi har även ritat tangenten vars lutning är negativ. Hade lutningen varit \( \, 0 \, \) hade \( \, x = 2 \, \) varit en terasspunkt. Pga funktionens kontinuitet finns det alltid en inflexionspunkt mellan ett maximum och ett minimum. Men hur kan inflexionspunkter identifieras algebraiskt och hur kan man hitta sådana? Följande regel ger svar: |
 |
:
Regel om inflexionspunkter:
Funktionen \( {\color{White} x} y \, = \, f(x) {\color{White} x} \) har en inflexionspunkt i \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) om \( {\color{White} x} f\,''(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) och \( {\color{White} x} f\,'''(a) \, \neq \, 0 {\color{White} x}. \)
Om dessutom \( {\color{White} x} f\,'(a) \, = \, 0 {\color{White} x} \) är \( {\color{White} x} x = a {\color{White} x} \) en terasspunkt. (Samma som tidigare)
Man ställer alltså upp andraderivatan, sätter den till \( \, 0 \, \) och beräknar de \( \, x \, \) för vilka andraderivatan blir \( \, 0 \, \). Sedan kontrollerar man om tredjederivatan verkligen är skild från \( \, 0 \, \) i andraderivatans nollställen.
Dessutom gäller det: Om \( \, f\,'''(a) > 0 \, \) har vi en övergång från höger- till vänstersväng \(-\) som i grafen ovan. Om däremot \( \, f\,'''(a) < 0 \, \) går kurvan över från en vänster- till en högersväng.
Kritiska punkter
- Maxima
- Minima
- Terasspunkter
kallas kritiska punkter, ibland även stationära punkter. Stationära, därför att kurvan stannar av i dessa punkter, dvs är varken växande eller avtagande. Algebraiskt är kriteriet för kritiska punkter att derivatan är \( \, 0 \, \).
Funktionen i figuren nedan har tre kritiska punkter, ett maximum för \( \, x = 2 \, \), ett mininmum för \( \, x = -2 \, \) och en terrasspunkt för \( \, x = 0 \, \). I alla tre punkter är kurvans tangenter horisontella dvs har lutningen \( \, 0 \, \).
Sammanfattningsvis kan vi säga att en funktion \( \, y = f(x) \, \) har en kritisk punkt i \( \, x = a \, \) om derivatan \( \, f\,'(a) = 0 \, \). Högre derivators beteende spelar här ingen roll.
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
