3.2 Lösning 8

För att kunna derivera \( {\color{White} x} f(x) {\color{White} x} \) utvecklar vi funktionsuttrycket till ett polynom som en summa av termer:

\[ f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = \]

\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x \,- \, (x^2 - 11\,x + 25)) = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x - x^2 + 11\,x - 25) = \]

\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 12\,x^2 + 36\,x - 25) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]

Nu deriverar vi två gånger:

\[ f(x) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]

\[ f\,'(x) = x^2 - 8\,x + 12 \]

\[ f\,''(x) = 2\,x - 8 \]

Derivatans nollställen = extrempunkter:

\[\begin{array}{lcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ {\rm Vieta:} & & x_1 & = & 2 \\ & & x_2 & = & 6 \end{array}\]

Andraderivatans tecken och max/min:

\( f\,''(2) = 2 \cdot 2 - 8 = -4 < 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_1 = 2 {\color{White} x} \) är en maximipunkt.

\( f\,''(6) = 2 \cdot 6 - 8 = {\color{White} -}4 > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad x_2 = 6 {\color{White} x} \) är en minimipunkt.

Extremvärden:

\[ f(2) = {1 \over 3} \cdot 2^3 - 4 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 - {25 \over 3} \, = \, {7 \over 3} \]

\[ f(6) = {1 \over 3} \cdot 6^3 - 4 \cdot 6^2 + 12 \cdot 6 - {25 \over 3} \, = \, -{25 \over 3} \]

Koordinaterna:

\[ f(x) {\color{White} x} \rm har\;ett\;maximum\;i\;punkten {\color{White} x} (2,\, {7 \over 3}) \, \].

\[ f(x) {\color{White} x} \rm har\;ett\;minimum\;i\;punkten {\color{White} x} (6,\, -{25 \over 3}) \, \].