3.2 Lösning 8

För att kunna derivera \( {\color{White} x} f(x) {\color{White} x} \) utvecklar vi funktionsuttrycket till ett polynom som en summa av termer:

\[ f(x) = {(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) \over 3} = {1 \over 3}\,(x - 1)\,(x^2 - 11\,x + 25) = \]

\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x \,- \, (x^2 - 11\,x + 25)) = {1 \over 3}\,(x^3 - 11\,x^2 + 25\,x - x^2 + 11\,x - 25) = \]

\[ = {1 \over 3}\,(x^3 - 12\,x^2 + 36\,x - 25) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]

Nu deriverar vi två gånger:

\[ f(x) = {1 \over 3}\,x^3 - 4\,x^2 + 12\,x - {25 \over 3} \]

\[ f\,'(x) = x^2 - 8\,x + 12 \]

\[ f\,''(x) = 2\,x - 8 \]

Derivatans nollställen\[\begin{array}{rcrcl} f\,'(x) & = & x^2 - 8\,x + 12 & = & 0 \\ {\rm Vieta\;:} & & x_1 & = & 2 \\ & & x_2 & = & 6 \end{array}\]