3.2 Lösning 4g

Derivatan nollställen från 4f):

\[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 3 \end{array}\]

Lösning med reglerna om maxima och minima med andraderivata:

\[ \begin{array}{rcl} f'(x) & = & -9\,x^2 + 36\,x - 27 \\ f''(x) & = & -18\,x + 36 \end{array}\]

Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 1 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( x_1 = 1 \, \) i andraderivatan:

\[ f''(1) \, = \, -18\cdot 1 + 36 = 18 > 0 \]

Andraderivatan är positiv för \( x_1 = 1 \, \). Slutsats: \( f(x) \, \) har ett minimum i \( x_1 = 1 \, \).

Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = 3 \quad {\color{White} x} \)

Vi sätter in \( x_2 = 3 \, \) in i andraderivatan:

\[ f''(3) \, = \, -18\cdot 3 + 36 = -18 < 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( x_2 = 3 \, \). Slutsats: \( f(x) \, \) har ett maximum i \( x_2 = 3 \, \).

Extrempunkternas koordinater:

\[ f(x) = - 3\,x^3 + 18\,x^2 - 27\,x + 14 \]

\[ f(1) = - 3\cdot 1^3 + 18\cdot 1^2 - 27\cdot 1 + 14 = 2 \]

\[ f(3) = - 3\cdot 3^3 + 18\cdot 3^2 - 27\cdot 3 + 14 = 14 \]

Minimipunktens koordinater: \( {\color{White} x} \quad (1,\, 2) \)

Maximipunktens koordinater: \( {\color{White} x} \quad (3,\, 14) \)