1.2 Lösning 13

Påstående: Om \( P(x) = x^2 + p\,x + q \) har nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) så gäller:

\[ x^2 + p\,x + q = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \]

Bevis:

Nollställena \( x_1\, \) och \( x_2\, \) till \( P(x) \, \) är lösningar till ekvationen:

\[ x^2 + p\,x + q = 0 \]

För dem gäller p-q-formeln:

\[x_{1,2} = -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} = a_1 \pm a_2 \]

där \( a_1\, \) och \( a_2\, \) är nya beteckningar:

\[ a_1 = -\frac{p}{2} \quad {\color{White} x} {\rm och} {\color{White} x} \quad a_2 = \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q} \]

Vi sätter in \( x_1\, \) och \( x_2\, \) i högerledet av påståendet:

\[ (x-x_1) \cdot (x-x_2) = \left(x\,-\left[-\frac{p}{2} + \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\;\right] \right) \cdot \left(x\,-\left[-\frac{p}{2} - \sqrt{\bigg(\frac{p}{2}\bigg)^2-q}\;\right] \right) \]