1.5a Svar 8b

Låt oss nu med hjälp av den allmänna definitionen för kontinuerliga funktioner undersöka om Heavisidefunktionen är kontinuerlig för \( {\color{Red} x = 0}\, \). Enligt definitionen borde då:

\[ H(x) \to H(0) \] när \( x \to 0 \).

Närmar man sig \( 0\, \) på \( x\, \)-axeln från höger närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( 1\, \). Närmar man sig \( 0\, \) från vänster närmar sig \( H(x)\, \) värdet \( -1\, \). Dvs \( H(x) \to 1\, \) och \( \to -1\, \), när \( x \to 0 \).

Men \( H(0) = 0\, \). \( H(x)\, \) går dock inte mot \( H(0) = 0\, \), när \( x \to 0 \), vilket den borde göra om den hade varit kontinuerlig för \( x = 0\, \).

Därmed är dfinitionens krav inte uppfyllt. Funktionen \( H(x)\, \) är inte kontinuerlig för \( x = 0\, \).