Logaritmlagarna

Följande lagar gäller för logaritmer där basen i princip kan vara vilket positivt heltal som helst \( \neq 1 \), men här av praktiska skäl är vald till 10, \( A \) och \( B \) positiva tal dvs \( \neq 0 \) och \( x \) och \( y \) rationella tal. Dessa lagar gäller för vilken bas som helst. Därför skulle istället för \(\lg,\) kunna stå \( \log\, \) utan angivelse av basen.

Bevis av logaritmlagarna

Logaritmlag 1:

\[ \log(A \cdot B) \; = \; \log A + \log B \]

Bevis:

Logaritmlagarna är potenslagarnas logaritmering. Därför skriver vi upp första potenslagen:

\[ a^x \cdot a^y \; = \; a^{x+y} \]

Och logaritmerar båda leden:

\[ \log_a(a^x \cdot a^y) \; = \; \log_a a^{x+y} \; = \; x \, + \, y \; = \; \log_a a^x \, + \, \log_a a^y \]

Om vi inför beteckningarna \( A = a^x\, \) och \( B = a^y\, \) får vi:

\[ \log_a (A \cdot B) \; = \; \log_a A + \log_a B \]

Eftersom vi inte gjort några förutsättningar om basen \( a\, \) gäller likheten ovan för vilken bas \( a\, \) som helst. Därav följer påståendet.

Påstående (Nollte potens):

\[ a^0 \; = \; 1 \]

Bevis:

Påståendet kan bevisas genom att använda potenslagen för division av potenser med samma bas:

\[ a^0 \; = \; a^{x-x} \; = \; {a^x \over a^x} \; = \; 1 \]

Påstående (Rationell exponent):

\[ a^{m \over n} \; = \; \sqrt[n]{a^m} \]

Bevisidé:

Vi tar specialfallet \( m=1 \) och \( n=3 \), multiplicerar \( a^{1 \over 3} \) tre gånger med sig själv och använder potenslagen om produkt av potenser med samma bas:

\[ a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \cdot a^{1 \over 3} \; = \; a^{{1 \over 3} + {1 \over 3} + {1 \over 3}} \; = \; a^{3 \over 3} \; = \; a^1 \; = \; a \]

Definitionen för 3:e roten ur a är\[\sqrt[3]{a} = \] Tal som 3 gånger med sig själv ger a. Men enligt raden ovan är det tal som 3 gånger med sig själv ger a, just \( a^{1 \over 3} \). Alltså måste detta tal vara lika med 3:e roten ur a:

\[ a^{1 \over 3} \; = \; \sqrt[3]{a} \]

Denna bevisidé kan vidareutvecklas till det allmänna fallet för alla heltal \( m\, \) och \( n\neq 0 \).