2.7 Numerisk derivering
| <-- Förra avsnitt | Teori | Övningar | Diagnosprov kap 2 Derivatan | Lösningar till diagnosprov kap 2 |
Lektion 22 Numerisk derivering
Innehåll
Numerisk derivering är en metod för approximativ (ungefärlig) beräkning av derivatan. Med hjälp av numeriska deriveringsformler beräknas ett närmevärde för derivatan.
Numerisk derivering går tillbaka till deriveringens rötter, nämligen till begreppet differenskvot som i derivatans allmänna definition nämndes som synonym för genomsnittlig förändringshastighet. Alla numeriska deriveringsformler baseras på differenskvoten, fast på olika sätt. Vi kommer att behandla här de tre enklaste numeriska deriveringsformlerna:
- Framåtdifferenskvoten
- Bakåtdifferenskvoten
- Centrala differenskvoten
Framåtdifferenskvoten
Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Framåtdifferenskvoten:
Approximationen blir desto bättre ju mindre steglängden är. |
 |
Exempel för framåtdifferenskvoten
Givet:
- Följande funktion \( f(x)\, \) i tabellform:
\( x\, \) \( f(x)\, \) \( 0,5\, \) \( 1,79744\, \) \( 0,6\, \) \( 2,04424\, \) \( 0,7\, \) \( 2,32751\, \)
Sökt:
- Funktionens derivata i \( x = 0,6\, \) dvs \( f\,'(0,6) \) med framåtdifferenskvoten.
Lösning:
- Steglängden \( h = 0,1\, \) är given i tabellen.
- \[ f\,'(0,6) = {f(0,6 + 0,1) - f(0,6) \over 0,1} = {f(0,7) - f(0,6) \over 0,1} = {2,32751 - 2,04424 \over 0,1} = {0,28327 \over 0,1} = 2,8327 \]
Bakåtdifferenskvoten
Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Bakåtdifferenskvoten:
Även här gäller att approximationen är desto bättre ju mindre steglängden \( h\, \) är. |
 |
Exempel för bakåtdifferenskvoten
Givet:
- Funktionen \( f(x) = \ln x\, \)
- Steglängden \( h = 0,01\, \)
Sökt:
- Funktionens derivata i \( x = 1,8\, \) dvs \( f\,'(1,8) \) med bakåtdifferenskvoten .
Lösning:
\[ f\,'(1,8) \approx {f(1,8) - f(1,8 - 0,01) \over 0,01} = {f(1,8) - f(1,79) \over 0,01} = {\ln(1,8) - \ln(1,79) \over 0,01} = 0,5571 \]
Det exakta värdet avrundat till 4 decimaler är \( f\,'(1,8) = 0,5556\, \).
Ett närmevärdes fel definieras som:
Vårt närmevärdes fel blir då:
- Felet \( \, = \, |\,0,5556 \, - \, 0,5571| \, = \, 0,0015\)
Närmevärdefelets definition ger oss en möjlighet att jämföra de olika numeriska deriveringsformlernas noggrannhet, se övning 3.
Centrala differenskvoten
Derivatan \( f\,'(a) \) av funktionen \( y = f\,(x) \) i punkten \( x = a\, \) kan approximeras med Centrala differenskvoten:
För 2:a gradsfunktioner är formeln exakt för alla \( \,h \), se satsen nedan. |
 |
Exempel för centrala differenskvoten
Givet:
- Funktionen \( f(x) = x\,^2 \)
- Steglängden \( h = 0,5\, \)
Sökt:
- Funktionens derivata i \( x = 1\, \) dvs \( f\,'(1) \) med centrala differenskvoten .
Lösning:
- \[ f\,'(1) \approx {f(1 + 0,5) - f(1 - 0,5) \over 2\cdot 0,5} = {f(1,5) - f(0,5) \over 2\cdot 0,5} = {1,5^2 - 0,5^2 \over 1} = {\color{Red} 2} \]
Funktionens derivata är \( f\,'(x) = 2\,x \) och därmed det exakta värdet \( f\,'(1) = 2 \cdot 1 = {\color{Red} 2} \).
Noggrannhetsfrågor
Är det en slump att den numeriska deriveringen med centrala differenskvoten i exemplet ovan ger exakt värde, fast steglängden är relativt stor?
Svaret är nej: Den centrala differenskvoten deriverar alla 2:a gradsfunktioner (och förstås även alla 1:a gradsfunktioner) exakt oberoende av steglängden. Här följer satsen samt beviset:
Sats:
- Den centrala differenskvoten ger den exakta derivatan till alla 2:a gradsfunktioner oberoende av steglängden.
- Om \( f(x) \; = \; x^2 + b\,x + c \)
- då:
- \[ {f(x + h) \, - \, f(x-h) \over 2\,h} \; = \; 2\,x + b \; = \; f\,'(x) \]
Bevis:
\[ f(x + h) = (x+h)^2 + b\,(x+h) + c = x^2 + 2\,x\,h + h^2 + b\,x + b\,h + c \]
\[ f(x - h) = (x-h)^2 + b\,(x-h) + c = x^2 - 2\,x\,h + h^2 + b\,x - b\,h + c \]
\[ f(x + h) - f(x-h) = x^2 + 2\,x\,h + h^2 + b\,x + b\,h + c - (x^2 - 2\,x\,h + h^2 + b\,x - b\,h + c) = 4\,x\,h + 2\,b\,h = 2\,h\,(2\,x + b) \]
\[ {f(x + h) - f(x-h) \over 2\,h} = {{\color{Red} {2\,h}}\,(2\,x + b) \over {\color{Red} {2\,h}}} = 2\,x + b = f\,'(x) \]
Att resultatet är oberoende av steglängden visas i beviset ovan genom att \( h\, \) förkortas bort och inte längre förekommer i slutresultatet.
Utan att bevisa ska också nämnas att framåt-och bakåtdifferenskvoten ger den exakta derivatan till alla 1:a gradsfunktioner oberoende av steglängden.
Varför numerisk derivering?
Frågan uppstår: varför ska vi ta fram ett närmevärde när vi kan få derivatans exakta värde med hjälp av de deriveringsregler vi ställde upp i de två sista avsnitten? Det finns många skäl: Det finns typer av funktioner som inte matchar någon av de deriveringsregler vi lärt oss. Det finns t.o.m. typer av funktioner som inte har någon analytisk derivata, dvs deras derivata kan inte anges i form av ett algebraiskt uttryck. I andra sammanhang kan det det i praktiken vara svårt \(-\) ibland kanske onödigt \(-\) att beräkna derivatan exakt.
I vilka situationer ska man använda numerisk derivering? Vi ska titta på den numeriska deriveringens användningsområden:
1) T.ex. följande funktion ska deriveras:
- \[ f(x) = {1 \over x + 1} \]
- Vi konstaterar att den inte matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. \( \, f(x) \) kan inte skrivas om till en potens med basen \( \, x \), vilket vi t.ex. kunde göra med \( y = \displaystyle {1 \over x} \) genom att skriva om den till \( y = \, x^{-1} \). Sedan kunde vi använda deriveringsregeln för potensfunktioner, Exempel 2 på denna omskrivna formen \( y = \, x^{-1} \). Eftersom en sådan omskrivning inte går att göra med funktionen \( f(x) = \displaystyle {1 \over x + 1}\, \) kan den inte deriveras med denna regel. Inte heller med någon annan av de deriveringsregler vi känner till hittills. Det är nämnaren \(\, x + 1 \) som gör att uttrycket inte kan skrivas om till en potens med basen \( \, x \). Visserligen går det att skriva om så här: \( \, f(x) = \displaystyle {1 \over x + 1} = (x + 1)^{-1} \), men basen här är inte \( \, x \) utan \( \, x + 1 \).
- Funktionen i fråga kan anses som en kvot av två funktioner, nämligen \( \, g(x) = 1 \) och \( \, h(x) = x + 1 \). En deriveringsregel för en kvot av funktioner, den s.k. kvotregeln som skulle kunna användas här, kommer vi att lära oss först i Matte 4-kursen.
- Ett annat exempel är funktionen:
- \[ f(x) = \displaystyle {1 \over e^x + 1}\, \]
- som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell \(-\) av liknande anledning som exemplet ovan. Även den går att derivera med hjälp av kvotregeln.
- Ytterligare ett exempel är:
- \[ f(x) = \ln x\, \]
- som inte heller matchar mot någon funktionstyp i vår deriveringstabell. I Exempel för bakåtdifferenskvoten visades hur man kunde derivera \( \ln x \) numeriskt.
2) När vi ska derivera en funktion som saknar algebraisk formel och är endast given i tabellform, dvs numeriskt, finns det ingen annan möjlighet än att derivera den numeriskt.
- Som exempel tar vi den funktion i tabellform som vi behandlade i aktiviteten Introduktion till derivatan och som beskriver kroppens rörelse vid hopp från 10 meters torn. Låt oss här anta att vi inte tagit fram den från någon formel. \( x\, \) är tiden och \( f(x)\, \) höjden över vattnet:
- Sådana funktioner i tabellform förekommer ofta i statistiken och i tillämpningarna som resultat av mätningar. De visar ett samband utan någon formel. Ändå uppfyller de definitionen på en funktion, nämligen att vara en
- "Regel som tilldelar varje \( x\, \)-värde endast ett \( y\, \)-värde."
- Även en sådan funktion har en derivata, både i varje punkt (av sitt definitionsområde) och som en ny funktion. Men i båda fall kan derivatan tas fram endast numeriskt. Vi hade gjort detta i aktiviteten Introduktion till derivatan. Den nya funktionen som representerar derivatan hade vi approximerat numeriskt genom att använda framåtdifferenskvoten, där formulerad som \( \displaystyle {\Delta y \over \Delta x} \). Resultatet visades i Lösningen till aktiviteten både i tabellform (punkt 4) och grafiskt (punkt 6). Även om resultatet var approximativt visade grafen tydligt att den ursprungliga kvadratiska funktionens derivata var en linjär funktion.
3) När vi har en funktion vars derivata blir så komplicerad att det tar mer tid att ställa upp den än att derivera numeriskt, kan det vara bra att ha möjligheten till numerisk derivering. Exempel:
- \[ f(x) = {\sin\,3\,x \over 4\,\cos\,x} \qquad\qquad\qquad\qquad f\,'(x) = {12\,\cos\,3\,x \cdot \cos\,x \,+\, 4\,\sin\,3\,x \cdot \sin\,x \over 16\,\cos^2\,x} \]
- För det första är det inte enkelt att ställa upp \( f\,'(x) \). Även här skulle kvotregeln behövas samt deriveringsreglerna för sinus- och cosinusfunktioner.
- För det andra ser man att det är väsentligt enklare att beräkna t.ex. \( f(2)\, \) än \( f\,'(2) \). I de numeriska deriveringsformlerna ingår nämligen endast beräkningar av \( f(x)\, \), inte av \( f\,'(x) \).
Copyright © 2011-2014 Taifun Alishenas. All Rights Reserved.
