3.3 Lösning 6a

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & - x^4 - 4\,x^3 \\ f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 \\ f''(x) & = & -12\,x^2 - 24\,x \\ f'''(x) & = & -24\,x - 24 \end{array}\]

Derivatans nollställen:

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & -4\,x^3 - 12\,x^2 & = & 0 \\ & & -4\,x^2\,(x + 3) & = & 0 \\ & & x_1 & = & 0 \\ & & x_2 & = & -3 \end{array}\]

Derivatan har två nollställen, ett i \( x_1 = 0 \) och ett i \( x_2 = -3 \).

Nollställe 1: \( {\color{White} x} x_1 = 0 \)

Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i andraderivatan:

\[ f''(0) \, = \, -12\cdot 0^2 - 24\cdot 0 = 0 \]

Vi sätter in \( x_1 = 0 \, \) i tredjederivatan:

\[ f'''(0) \, = \, -24\cdot 0 - 24 = 0 - 24 = - 24 \, \neq 0 \]

Enligt regeln om terasspunkter med högre derivator:

\[ \, f\,'(0) \, = \, f\,''(0) \, = \, 0, \quad f\,'''(0) \, \neq \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = 0 \;\; {\rm en\;terasspunkt.} \]

Nollställe 2: \( {\color{White} x} x_2 = -3 \)

Vi sätter in \( x_2 = -3 \, \) i andraderivatan:

\[ f''(-1) \, = \, -12\cdot (-1)^2 - 24\cdot (-1) = -12\cdot 1 + 24 = -12 + 24 = 12 \, > \, 0 \]

Enligt regler om maxima och minima med andraderivata:

\[ \, f\,'(-1) \, = 0, \quad f\,''(-1) \, > \, 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; x = -1 \;\; {\rm en\;minimipunkt.} \]

Minimipunktens \( \, y\)-koordinat:

\[\begin{array}{rcl} f(x) & = & 3\,x^4 + 4\,x^3 \\ f(-1) & = & 3\cdot (-1)^4 + 4\cdot (-1)^3 \, = \, 3\cdot 1 + 4\cdot (-1) \, = \, 3 - 4 \, = \, -1 \end{array}\]

Minimipunktens koordinater:    \( (-1, -1) \)

\( f(x) \;\; {\rm har\;i} \;\; (0, 0) \;\; {\rm en\;terasspunkt\;och\;i} \;\; (-1, -1) \;\; {\rm en\;minimipunkt.} \)