3.2 Lösning 11b

\[ A(x) \, = \, -\,{a \over b}\,x^2 \, + \, a\,x \]

\[ A'(x) \, = \, -\,{2\,a \over b}\,x \, + \, a \]

\[ A''(x) \, = \, -\,{2\,a \over b} \]

Derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} A'(x) & = & -{2\,a \over b}\,x + a & = & 0 \\ & & a & = & {2\,a \over b}\,x \\ & & {a \cdot b \over 2\,a} & = & x \\ & & x & = & {b \over 2} \end{array}\]

Andraderivatans tecken för \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \):

\[ A''\left({b \over 2}\right) = -\,{2\,a \over b} \,<\, 0 \qquad {\rm p.g.a.} \qquad a > 0 \quad {\rm och} \quad b > 0 \]

Andraderivatan är negativ för \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \). Därav följer att \( A(x) \, \) har ett maximum i \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \).

Rektangeln får största arean för \( \displaystyle x = {b \over 2} \, \)\[ A\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b \over 2}\right)^2 + \,a\cdot\left({b \over 2}\right) = -\,{a \over b} \cdot \left({b^2 \over 4}\right) + \,{a\cdot b \over 2} = \]

\( \displaystyle = -\,{a \cdot b^2 \over b \cdot 4} + \,{a\cdot b \over 2} = -\,{a \cdot b \over 4} + \,{a\cdot b \over 2} = -\,{a \cdot b \over 4} + \,{2\cdot a\cdot b \over 4} = \)