3.2 Lösning 9a
Vi har:
- \[\begin{array}{rcl} f(x) & = & a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x \\ f\,'(x) & = & 3\,a\,x^2 + 2\,b\,x + c \end{array}\]
Av att punkten \( \, (-1, 7) \, \) är ett maximum följer att \( \, x = -1 \, \) är en extrempunkt.
Av att \( \, x = -1 \, \) är en extrempunkt följer att derivatan för \( \, x = -1 \, \) är \( \, = \, 0 \) dvs:
- \[\begin{array}{rcrclcr} f\,'(-1) & = & 3\,a \cdot (-1)^2 \, + \, 2\,b \cdot (-1) \, + \, c & = & 0 & & \\ & & 3\,a \, - \, 2\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad {\rm (I)} \end{array}\]
Av att \( \, x = 2 \, \) är en minimipunkt följer att derivatan för \( \, x = 2 \, \) är \( \, = \, 0 \) dvs:
- \[\begin{array}{rcrclcr} f\,'(2) & = & 3\,a \cdot 2^2 \, + \, 2\,b \cdot 2 \, + \, c & = & 0 & & \\ & & 12\,a \, + \, 4\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad\qquad\qquad {\rm (II)} \end{array}\]
Av att maximipunktens koordinater är \( \, (-1, 7) \, \) följer att funktionens värde för \( \, x = -1 \, \) är \( \, 7 \) dvs:
- \[\begin{array}{rcrclcr} f(-1) & = & a \cdot (-1)^3 \, + \, b \cdot (-1)^2 \, + \, c \cdot (-1) & = & 7 & & \\ & & -\,a \, + \, b \, - \, c & = & 7 & & \quad {\rm (III)} \end{array}\]
Vi sammanställer resultaten ovan i följande linjärt ekvationssystem för de tre obekanta \( \, a, \, b \, \) och \( \, c \, \):
- \[\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} {f(-1)}} & {\color{White} x} & \qquad 3\,a \, - \, 2\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad\; {\rm (I)} \\ {\color{White} {f(-1)}} & {\color{White} x} & \qquad 12\,a \, + \, 4\,b \, + \, c & = & 0 & & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm (II)} \\ {\color{White} {f(-1)}} & {\color{White} x} & \qquad -\,a \, + \, b \, - \, c & = & 7 & & \qquad\quad {\rm (III)} \end{array}\]
- \[\begin{array}{rcrclcr} {\rm (II)} + {\rm (III)} & \Longrightarrow & \quad 11\,a \, + \, 5\,b & = & 7 & & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm (IV)} \\ {\rm (II)} - {\rm (I)} & \Longrightarrow & \quad 9\,a \, + \, 6\,b & = & 0 & & \qquad\quad {\rm (V)} \end{array}\]
- \[\begin{array}{rcrclcr} 6 \cdot {\rm (IV)} & \Longrightarrow & \; 66\,a \, + \, 30\,b & = & 42 & & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm (VI)} \\ 5 \cdot {\rm (V)} & \Longrightarrow & \; 45\,a \, + \, 30\,b & = & 0 & & \qquad\quad {\rm (VII)} \end{array}\]
\[\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} x} {\rm (VI)} - {\rm (VII)} & \Longrightarrow & \qquad\quad\; 21\,a & = & 42 & & \\ & & \qquad\quad\; a & = & 2 & & \end{array}\]
\[\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} x} {\rm (V)} & \qquad\; \Longrightarrow \quad & 9 \cdot 2 \, + \, 6\,b & = & 0 & & \\ & \qquad\quad\; & 18 \, + \, 6\,b & = & 0 & & \\ & \qquad\quad\; & 6\,b & = & -18 & & \\ & \qquad\quad\; & b & = & -3 & & \end{array}\]
\[\begin{array}{rcrclcr} {\color{White} x} {\rm (III)} & \quad\; \Longrightarrow & -\,2 \, - \, 3 \, - \, c & = & 7 & & \\ & \quad\; & -\,5 \, - \, c & = & 7 & & \\ & \quad\; & - \, c & = & 12 & & \\ & \quad\; & c & = & -12 & & \end{array}\]
- \[\begin{array}{rcrclcr} {\rm Svar:} & {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad a & = & 2 & & \\ & {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad b & = & -3 & & \\ & {\color{White} x} & \qquad\qquad\qquad c & = & -12 & & \end{array}\]
