3.2 Lösning 2b

Vi deriverar en gång:

\[ f(x) \, = \, - 9\,x^2 + 6\,x + 10 \]

\[ f'(x) \, = \, - 18\,x + 6 \]

I övning 1a hade vi beräknat derivatans nollställe:

\[\begin{array}{rcrcl} f'(x) & = & - 18\,x + 6 & = & 0 \\ & & x & = & {1 \over 3} \approx 0,33 \end{array}\]

För att avgöra om extrempunkten \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \, \) är ett maximum eller ett minimum undersöker vi derivatans teckenbyte kring extrempunkten.

Vi väljer t.ex. punkterna \( \, x = 0,3 \) till vänster och \( \, x = 0,4 \) till höger om extrempunkten och sätter in dem i deriuvatan:

\[ f' (0,3) = - 18\cdot 0,3 + 6 = - 0,6 > 0 \]

\[ f' (0,4) = - 18\cdot 0,4 + 6 = - 1,2 < 0 \]

Resultaten skrivs i en teckentabell:

\(x\)	\(0,3\)	\(\displaystyle {1 \over 3}\)	\(0,4\)
\( f\,'(x) \)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( \,f(x) \)	↗	Max	↘

Eftersom \( f\,'\left(\displaystyle {1 \over 3}\right) = 0 \) och derivatan byter tecken från \(+\) till \( - \) kring \( \displaystyle {1 \over 3} \) har funktionen \( f(x)\, \) ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \). Eller:

Eftersom funktionen \( f(x)\, \) är växande till vänster om och avtagande till höger om \( \displaystyle {1 \over 3} \) föreligger ett maximum i \( \, x = \displaystyle {1 \over 3} \).

Yulia når sin högsta höjd efter \( \, \displaystyle {1 \over 3} \, \) sekund.