3.1 Lösning 4b

Teckenstudium:

Från a) vet vi att derivatan

\[ f'(x) \,=\, -9\,x^2 + 54\,x - 45 \]

har två nollställen:

\[ \begin{array}{rcl} x_1 & = & 1 \\ x_2 & = & 5 \end{array}\]

\[ f\,'\,(x) \,=\, -10\,x + 10\ \]

\[ f\,'\,(0,9) \,=\, -10\cdot 0,9 + 10 \,=\, -9 + 10 \,=\, 1 \,>\, 0 \]

\[ f\,'\,(1,1) \,=\, -10\cdot 1,1 + 10 \,=\, -11 + 10 \,=\, -1 \,<\, 0 \]

bestämma derivatans förtecken för ett \( \,x \) vänster om och ett \( \,x \) höger om derivatans nollställe.

\(x\)		\(1\)		\(5\)
\( f\,'(x) \)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\( f(x) \)	↘		↗		↘

---

b)   För alla \( {\color{White} {xxxxxx}} x < 2 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.

      I intervallet \( {\color{White} x} 2 < x < 4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) växande.

      För alla  \( {\color{White} {xxxxxx}} x > 4 {\color{White} x} \) är \(\, f(x) \) avtagande.

---