1.6a Lösning 5b
Lös ekvationen \( {\color{White} x} \, | \, x + 1 \, | + 2\,x\, = \, 3 \)
Fall 1: \( {\color{White} x} x + 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq -1 \)
Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x + 1 \, | = x + 1\, \) och ekvationen blir:
- \[\begin{align} x + 1 + 2\,x & = 3 \\ 3\,x + 1 & = 3 \\ 3\,x & = 3 - 1 \\ 3\,x & = 2 \\ x_1 & = {2 \over 3} \end{align}\]
Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( x \geq 3 \). Faktiskt är \( - 4 \not\ge 3 \). Därmed måste vi förkasta denna lösning. \( x_1 = - 4\, \) är en falsk rot.
Fall 2: \( {\color{White} x} x - 3 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < 3 \)
Enligt absolutbeloppets definition blir i så fall \( | \, x - 3 \, | = -(x - 3) = -x + 3\, \) och ekvationen blir:
- \[\begin{align} -\,x + 3 - 2\,x & = 1 \\ -\,3\,x + 3 & = 1 \\ 3 - 1 & = 3\,x \\ 2 & = 3\,x \\ {2 \over 3} & = x \end{align}\]
Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättningen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( x < 3\, \). Det stämmer att \( {2 \over 3} \) \( < 3 \). Därmed kan vi godta även denna lösning.
Ekvationen har endast lösningen:
- \[ x = {2 \over 3} \]
Lösningen bekräftas av grafen i 5a).
