1.6a Lösning 4b

Fall 1: \( {\color{White} x} x - 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq 1 \)

Enligt absolutbeloppets definition kan vi i det här fallet ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgärd:

\[\begin{align} x - 1 & = 4 \\ x & = 4 + 1 \\ x_1 & = 5 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x \geq 1 \). Det stämmer att \( 5 \geq 1 \). Därmed kan vi godta denna lösning.

Fall 2: \( {\color{White} x} x - 1 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < 1 \)

Enligt absolutbeloppets definition måste vi i det här fallet ersätta \( x - 1\, \) med \( -(x - 1) = -x + 1 \) när vi tar bort absolutbeloppstecknen:

\[\begin{align} -x + 1 & = 4 \\ -4 + 1 & = x \\ -3 & = x \\ x_2 & = -3 \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen överensstämmer med förutsättningen vi gjorde i detta fall, nämligen \( x < 1\, \). Det stämmer att \( -3 < 1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning.

Ekvationen har två lösningar:

\[\begin{align} x_1 & = 5 \\ x_2 & = -3 \end{align}\]

Lösningarna bekräftas av grafen i a).