1.6a Lösning 4b

Fall 1: \( {\color{White} x} x - 1 \geq 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x \geq -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det första alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( x + 1\, \). Dvs i det här fallet kan vi ta bort absolutbeloppstecknen utan åtgäd. Ekvationen blir:

\[\begin{align} x + 1 & = 3 \\ x & = 3 - 1 \\ x_1 & = 2 \end{align}\]

Vi kollar om lösningen inte står i motsats till förutsättnigen vi gjorde i Fall 1, nämligen \( x \geq -1 \). Men faktiskt är \( 2 \geq -1 \). Därmed kan vi godta denna lösning. Annars hade den varit en falsk rot.

I ekvationer med absolutbelopp är sådana kontroller obligatoriska. I Exempel 2 förekommer faktiskt en falsk rot.

Fall 2: \( {\color{White} x} x + 1 < 0 \quad {\color{White} x} \) eller \( {\color{White} x}\quad x < -1 \)

Enligt absolutbeloppets definition väljs det andra alternativet efter klammern \( \begin{cases} \end{cases} \), dvs \( | \, x + 1 \, | \) blir \( -(x + 1) = -x - 1\, \). Dvs i det här fallet måste vi ersätta \( x + 1\, \) med \( -x - 1\, \), när vi tar bort absolutbeloppstecknen. Ekvationen blir:

\[\begin{align} -x - 1 & = 3 \\ -3 - 1 & = x \\ -4 & = x \\ x_2 & = -4 \end{align}\]

Även här måste vi kolla om lösningen är förenlig med förutsättnigen vi gjorde i Fall 2, nämligen \( x < -1\, \). Men faktiskt är \( -4 < -1\, \). Därmed kan vi godta även denna lösning. Ekvationen har två lösningar.

Svar: \(\begin{align} {\color{White} x} \, {\color{White} x} x_1 & = 2 \\ x_2 & = -4 \end{align}\)